Am besten mit Induktion nach n.
n=1 ist einfach nur die normale Produktregel
(fg) ' = f ' * g + f * g '
und die Summe von k=0 bis 1 liefert
(1 über 0) * f (1) * g (0) + ( 1 über 1 ) * f (0) * g(1)
= 1 *f ' * g + 1* f * g ' Passt also.
Wenn es fü n stimmt, dann gibt (fg)(n+1) =(fg)(n) '
Du muss also die Summe von k=0 bis n über (n über k) * f(n-k)*g(k)
nochmal ableiten. Bei einer Summe darf man das ja, indem man jeden
Summanden einzeln ableitet und die Produkte nach der Produktregel, also
gibt das :
Summe von k=0 bis n über (n über k) * ( f(n-k+1)*g(k) +f(n-k)*g(k+1) )
Summe von k=0 bis n über (n über k) * f(n-k+1)*g(k) +(n über k) *f(n-k)*g(k+1)
und machen daraus zwei Summen
= Summe von k=0 bis n über (n über k) * f(n-k+1)*g(k)
+ Summe von k=0 bis n(n über k) *f(n-k)*g(k+1) )
Verschiebe jetzt den Summationsindex der 2. Summe :
= Summe von k=0 bis n über (n über k) * f(n-k+1)*g(k)
+ Summe von k=1 bis n+1 (n über k-1) *f(n-k+1)*g(k) )
und bedenke nun, das ( n über k ) + ( n über k-1) immer ( n+1 über k) ergibt.
Also hast du drei Teile : Den ersten Summanden für k=0 , dann die
Summe von 1 bis n und den (n+1)-ten von der 2. Summe:
(n über 0)*f(n+1)*g +Summe von k=1 bis n (n über k) *f(n-k+1)*g(k)
+ ( n+1 über 0 ) * f * g(n+1)
Und weil (n+1 über 0) = (n über 0) und (n über n)=(n+1 über n+1)
ist, ist das die Summe aus der Formel für n+1, also
= Summe von k=0 bis n+1 (n über k) *f(n+1-k)*g(k)
