Kurvendiskussion - Termdarstellung ermitteln

Question

Folgende Aufgabenstellung: Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt H = (0/3) und den Wendepunkt W = (1/1). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! Ermittle weiters den Tiefpunkt des Graphen f! Zeichne den Graphen.

Die Termdarstellung habe ich schon ermittelt, und zwar:

I: 3 = d
II: 1 = a + b + c + d
III: 0 = c
IV: 0 = 6a + 2b

a = 0, b = -3, c = 0, d = 3

f(x) = x³ - 3x² + 3

Wie ermittle ich aber nun den Tiefpunkt? Ich hab's folgendermaßen versucht, bin aber dann nicht weitergekommen:

f'(x) = 3x² - 6x

3x² - 6x=0

x₁ = 0

x₂ = 2

Normalerweise müsste ich doch den x-Wert in die Termdarstellung einsetzen, um y zu erhalten. Hier habe ich aber nun 2 x-Werte... wie mache ich nun weiter?

im Voraus!

Comments

Der Hochpunkt bei x=0 ist ja schon gegeben.

Der Tiefpunkt muss also bei x=2 liegen, was f''(2) ja auch bestätigt.

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extrempunkte findest du dort, wo die erste Ableitung zu Null wird:$$0\stackrel!=3x^2-6x=3x(x-2)\implies x=0\;\lor\;x=2$$Um zu prüfen, ob es sich tatsächlich um Extremwerte handelt, setzt du die Kandidaten in die zweite Ableitung ein:$$f''(x)=6x-6$$$$f''(0)=-6<0\implies\text{Maximum}$$$$f''(2)=6>0\implies\text{Minimum}$$

Der Tiefpunkt liegt also bei \(T(2|-1)\).

~plot~ x^3-3x^2+3 ; [[-2|4|-5|5]] ~plot~

Comments

Vielen Dank, jetzt ist alles klar! :))