Prime Restklassenringe als notwendige Bedingung für das Wurzelziehen

Question

Hallo,

in der aktuellen Vorlesung besprechen wir aktuell Modulare Arithmetik und der Prof meinte gestern zu uns, dass Wurzeln bei modularen Gleichungen nur gezogen werden können, wenn prime Restklassenringe betrachtet werden.

Ich habe versucht, einen Beweis zu finden, bin allerdings nicht fündig geworden. Warum ist das so?

Comments

Das ist jetzt natürlich alles etwas salopp daher gesagt, kannst du deine Fragestellung vielleicht etwas präzisieren?

In den Ringen \( \mathbb Z / n \mathbb Z \) kann man im Allgemeinen keine Wurzeln ziehen.

Z.B. hat die Gleichungen \( x^2 = 2 \) in \( \mathbb Z / 5 \mathbb Z \) und \( \mathbb Z / 8 \mathbb Z \) keine Lösungen. Die Gleichung \( x^2 = 4 \) hat hingegen Lösungen in beiden Ringen.

Für die Körper \( \mathbb Z / p \mathbb Z \) kann man mit dem Legendre-Symbol und dem quadratischen Reziprozitätsgesetz bestimmen, ob eine Quadratische Gleichung lösbar ist oder nicht. Da es sich hierbei aber auch um Körper handelt kann man immer in einen algebraischen Abschluss übergehen, in dem man dann selbstverständlich auch Wurzeln ziehen kann.

In den restlichen Restklassenringen \( \mathbb Z / n \mathbb Z \) wobei \( n \) nicht prim, ist das m.W.n. nicht so einfach. Es gibt zwar das Jacobi-Symbol als Verallgemeinerung, aber das liefert nur notwendige Bedingungen.

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Vielen Dank für deine Antwort, MatHaeMatician!

Hmm, ich weiß nicht so wirklich, wie ich meine Frage konkret präzisieren kann.

Im Wesentlichen ging es mir genau um das, was du gerade ausgeführt hast: Dass bei Körpern in \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) unter eine Wurzel gezogen werden kann.

Eine Frage habe ich allerdings noch: Warum genau geht das? Du meinst, dass das ein Resultat des algebraischen Abschlusses ist. Warum ist das so?

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Das ist kein Ergebnis des algebraischen Abschluss. Du kannst die Berechnung aber in einem durchführen, dann geht das.

Ist \( K \) ein Körper, dann ist der algebraische Abschluss \( \bar K \) gerade der kleinste algebraische Erweiterungskörper von \( K \) in dem jedes Polynom \( K[x]\backslash K \) eine Nullstelle hat. Insb. also auch Polynome der Form \( x^2 - a \) für \( \forall a \in K \). D.h. jedes Element von \( K \) besitzt in \( \bar K \) eine quadratische Wurzel (für andere betrachte allg. das Polynom \( x^n - a \))

Beispiel: In \( \mathbb R \) hat die -1 keine Wurzel, aber du kannst für die Berechnung in den algebraischen Abschluss \( \mathbb C \) übergehen, dort hat -1 Wurzeln: \( \pm \textrm i \)

Man muss auch nicht immer in den algebraischen Abschluss übergehen. Manchmal reichen einfache Körpererweiterungen. Bspw. \( 2 \) in \( \mathbb Q \) hat keine Wurzel in $$ \mathbb Q(\sqrt 2) = \{ a+b\sqrt 2 ~|~ a,b \in \mathbb Q \} \cong \mathbb Q[x]/(x^2-2) $$ kannst du dann die Wurzel ziehen.

Bei endlichen Körpern funktioniert das so ähnlich. Um das Beispiel von ganz oben aufzugreifen:

2 hat keine Wurzel in \( \mathbb Z/5 \mathbb Z\), aber wenn du im Erweiterungskörper

$$ \mathbb F_{25} \cong \mathbb F_5[x]/(x^2 - \bar 2) $$

rechnest, kannst du plötzlich die Wurzel ziehen, aber die Wurzel wird halt kein Element von deinem Restklassenkörper sein, sondern nur von diesem Erweiterungskörper.

Ich weiß nicht ob das in die Richtung geht, die euer Dozent gedacht hat oder ob er was ganz anderes gemeint hat.

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Nein, ich glaube, darauf wollte er hinaus.

Zumindest ist mir das nun wesentlich klarer geworden. Vielen Dank!