Kurvendiskussion- Extr.w.

Question

Aufgabe:Man bestimme Extremwerte, Wendepunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen:

1). f(x)=(3sqrt)von x^2-1

(Das ist 3ter Wurzel von x^2-1

2) f(x)= ln(x)/x

…

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen wie ich das berechnen soll?

Answer 1

f(x)=(3sqrt)von x^2-1 = (x^2 -1) ^(1/3)  

Nullstellen für x^2 -1 = 0 also x=1 oder x=-1

Extrema:   f ' (x) = (2/3)x / ( x^2 -1 ) ^( -2/3) also f ' (x) = 0 nur bei x=0

einzige Stelle für lok. Extrema, allerdings nicht im Definitionsbereich.

Wendestellen: f ' ' (x) = (-2/9)(x^2+3)(x^2 -2 )^(-5/3) wird im Definitionsbereich nicht 0,

also keine Wendestellen.

sieht so aus ~plot~  (x^2 -1) ^(1/3)  ~plot~

g(x) = ln(x)/x einzige Nullstelle bei x=1 .

g ' (x) = ( 1- ln(x) ) / x^2  ist 0 für x=e . Dort einzige

Stelle für lok Extrema. g ' ' (e) = -e^(-3) < 0 also Max. bei x=e.

g ' ' (x) = 0 bei x= e^(3/2) . Dort einzige Wendestelle.~plot~ ln(x)/x ~plot~

Comments

Wolfram liefert 2 Möglichkeiten:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-1%29%5E%281%2F3%29&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Principal%22

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-1%29%5E%281%2F3%29&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22

Text erkannt:

\( f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{1} \)

GeoGebra liefert Version 2

mfG

Moliets

Answer 2

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{\ln (x)}{x} \) mit \( x \neq 0 \)
Nullstelle
\( \frac{\ln (x)}{x}=0 \mid \cdot x \)
\( \ln (x)=0 \mid e \)
\( e^{\ln (x)}=e^{0} \)
\( x=1 \)
Extremwert
\( f^{\prime}(x)=\frac{\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x-\ln (x) \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln (x)}{x^{2}} \)
\( \frac{1-\ln (x)}{x^{2}}=0 \) mit \( x \neq 0 \)
\( \ln (x)=1 \mid e \)
\( x=e \rightarrow f(e)=\frac{\ln (e)}{e}=\frac{1}{e} \)
Art des Extremwertes:
\( =\frac{\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot x^{2}-(1-\ln (x)) \cdot 2 x}{x^{4}}=\frac{-3 x+2 x \cdot \ln (x)}{x^{4}}=\frac{-3+2 \cdot \ln (x)}{x^{3}} \)
\( f^{\prime \prime}(e)=\frac{-3+2}{e^{2}}>0 \rightarrow \) Maximum
Wendepunkt
\( \frac{-3+2 \cdot \ln (x)}{x^{3}}=0 \) mit \( x \neq 0 \)
\( \ln x=\frac{3}{2} \)
\( x=e^{\frac{3}{2}} \)
\( f\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{\ln \left(e^{\frac{3}{2}}\right)}{e^{\frac{3}{2}}} \approx 0,335 \)