Darstellende Matrix bezüglich der Monombasis 1,x,x^2, x^3, x^4 und Linearität zeigen? phi: f(x) -> f(x+a)

Question

kann mir jemand bei der teilaufgabe b helfen?

bei a muss ich doch nur die axiome additivität und homogenität zeigen oder?

Answer 1

a) Du musst nur prüfen, ob  φ( f+g) = φ(f)+φ(g) gilt, ob also für alle x gilt

 φ( f+g)(x) = (φ(f)+φ(g))(x) 

<=>  ( f+g)(x+a) = f(x+a)+g(x+a) 

Das ist nach Def. von + im Raum ℝ[x]_≤d so.

Entsprechend für alle z∈ℝ prüfen  φ( zf)(x) = (zφ(f))(x) 

das gilt nach Def. der S-Multiplikation in diesem Raum.

Für die Matrix berechne  

φ(1) =  1

φ(x) = x+a = a+x 

φ(x²) = (x+a)² = (a+x)² = a² + 2ax +x² 

etc bis 

φ(x4) = (x+a)4 = (a+x)4 = a⁴ + 4a⁴x +6a²x²+ 4a³x+x⁴  

also ist die Matrix 

1         a      a²      a³         a⁴
0         1     2a      3a²       4a³
0         0       1      3a         6a²
0         0       0        1          4a
0         0       0         0           1