Kurvendiskussion: f(x) = x^3 -6/a*x^2 +9/a^2*x, Bestimmung der Extrema

Question

Habe erst einmal abgelitten:

f'(x)=3x²-(12/a)x+9/a²

f''(x)=6x-(12/a)

Dann habe ich f'(x)=0 gesetzt: 0=3x²-(12/a)x+(9/a²)    l :3

0=x²-(4/a)x+(3/a²)

Nun wollte ich mit der p-q-formel weiter rechnen. Also p=-(4/a) und q=(3/a²)

also x_1/2=-(-4/a)/2±√(-(4/a)/2)²-(3/a²)

Nun weiß ich nicht wie es weiter geht.

Comments

Auf die Gefahr hin etwas pedantisch zu wirken: http://www.die-konjugation.de/verb/ableiten.php

... auch wenn es auf manchen zutreffen mag, dass er oder sie dabei leidet. :)

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@ JR:

Kein schlechter Link - auch ich habe schon oft beim Ableiten gelitten -

und wenn dann noch eine Allergie dazukam, habe ich es nicht genossen zu niesen :-)

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@ Brucy: Ich hoffe, dass es nicht falsch verstanden wird. Der Hinweis ist nicht böse gemeint.

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@ JR:

Hin und wieder liegt mir auch so etwas auf der Zunge. Aber schließlich: Wenn man Abitur macht, sollte man nicht nur Mathematik halbwegs beherrschen.

Answer 1

Hi

Zunächst einmal muss gelten a ≠ 0.

Soweit ist schon mal alles richtig gerechnet. Nun vereinfachst Du erstmal den Term unter der Wurzel:

sqrt{  (-(4/a)/2)²   -(3/a²) } =

= sqrt{  (-(2/a))²   -(3/a²) } =

= sqrt{  4/a^2   -3/a² } =

= sqrt{  1 / a² } =

= 1 / a;

 

x_1/2= 2 / a ± 1 / a;

x1 = 1 / a;     x2 = 3 / a;

Die Extrema liegen also bei 1/a und 3/a.

 

Nun musst Du noch überprüfen ob es sich um einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt.

Hochpunkt: f''(x₀) < 0
Tiefpunkt: f''(x₀) >0
Sattelpunkt: f''(x₀) = 0 --> muss weiter untersucht werden, Kriterium hilft hier nicht weiter

 

Es muss also noch x1 und x2 in f''(x) eingesetzt werden:

f''(x) = 6x-(12/a);

 

x = x1 = 1/a;

f''(1/a) = 6/a -(12/a) = -6/a;

f(x=1/a) = (1/a)³-6/a*(1/a)²+9/a²*1/a =

= 1/a^3 -6/a^3 +9/a^3 =

= 4/a^3;

Falls a < 0, dann hat f bei (1/a  |  4/a^3) einen Tiefpunkt.

Falls a > 0, dann hat f bei (1/a  |  4/a^3) einen Hochpunkt.

 

x = x2 = 3/a;

f(x) = (3/a)³-6/a*(3/a)²+9/a²*(3/a) =

= 27/a^3 -54/a^3 +27/a^3 =

= 0;

Muss also an dieser Stelle weiter untersucht werden. ....

Das überlasse ich mal Dir, wenn Du nicht weiter kommst schreib einfach einen Kommentar

 

Ich hoffe die Schritte sind soweit nachvollziehbar, wenn nicht dann schreibe bitte einen Kommentar.

 

lg JR