Question

Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die folgenden Gleichungen eine Lösung x > 0 besitzen:

(i) e^cos(x) − x³  = sin(x²)
(ii) 3 + x³ − 3^x = 0
(iii) x − 13log(1 + x²) = 42
(iv) log(√(x² + 1) − 1) + 1/e * x⁵ = e

Comments

Mit Hilfe von einem Plot, kannst du abschätzen, wo du die Schnittstelle suchen musst.

Bsp.

~plot~ 3 + x^{3} - 3^{x};[[-2|12|-5|10]] ~plot~ 

Für x=0, x = 1, x=2 und x=3 ist die linke Seite der Gleichung grösser als 0 und für x = 4 kleiner als 0. 

---

Vom Duplikat:

Titel: Logarithmus berechnen (Zwischenwertsatz)

Stichworte: zwischenwertsatz,analysis

Freues Neues zu allem!

Kann mir bitte irgendjemand helfen um diese Gleichungen zu lösen!

 

für Ihre Hilfe :)

---

Aufgabe iii) findest du hier 

https://www.mathelounge.de/505080/gleichungen-und-zwischenwertsatz

Answer 1

Hi,

zur a):

Forme die Gleichung um zu \(e^{cos(x)} - x^3-sin(x^2)=0)\). Wir definieren \(f(x)=e^{cos(x)} - x^3-sin(x^2)\). Diese Funktion ist stetig (Warum?).

Nun gilt:

\(f(\frac{\pi}{2})=e^0-(\frac{\pi}{2})^3-sin((\frac{\pi}{2})^2) < 1-1,5^3+1<0\)

und

\(f(0)=e^1-0^3-sin(0^2)=e>0\)

Nach dem Zwischenwertsatz existiert nun ein \(c \in (0, \frac{\pi}{2})\) mit \(f(c)=0\).

Versuche den restlichen nun mal selbst und schreibe, wenn du nicht weiterkommst :)

Comments

also zur b)

3 + x³ − 3^x = 0

Definiere ich 

f(x) = 3 + x³ − 3^x  und das ist stetig.

Dann gilt:

f(1) = 3 + 1³ − 3¹ = 3 + 1 - 3 >0

und

f(-2) = 3 + (-2)³  - (3)^-2 = 3 - 8 - 1/9 <0

Nach dem Zwischenwertsatz ex. nun ein c ∈ (1, -2) mit f(c) = 0.

Stimmt das? Ich bin nicht sicher für den Zwischenwertsatz.

---

Ist korrekt :)

---

Das stimmt glaub ich nicht ganz so. Erstens müsste das Intervall (-2,1) heißen und zweitens steht in der Aufgabe ja ausdrücklich x>0, also müsstest du einen anderen Wert statt -2 einsetzten.

---

Ok, stimmt, danke. Wähle 4 statt - 2.