B(f)(x) := f(x + 1) linear? Was bedeutet B(f)(x)? Was ist eine ausgezeichnete Basis?

Question

ich sitze jetzt schon länger an einer Aufgabe, da mir nicht ganz klar ist was dort eigentlich steht. Aber jetzt erstmal die Aufgabenstellung:

Sei V := {ax² + bx + c | a, b, c ∈ R} der Vektorraum der rellen Polynomfunktionen vom Grad kleiner oder gleich zwei.
Der Vektorraus besitzt eine ausgezeichnete Basis gegeben durch das Monom {1, x, x²}.
Zeigen Sie, dass folgende Abbildung linear ist und berechnen Sie die darstellende Matrix sowie ihren Kern und das Bild.

Die Funktion lautet B : V → V definiert durch B(f)(x) := f(x + 1)

Nun frag ich mich was das "B(f)(x)" bedeutet und was ich dabei beachten muss, sowie was eine "ausgezeichnete Basis" ist. Ich vermute mal das "ausgezeichnete Basis" die "Standardbasis" ist? Bei B(f)(x) ist B ja der Name der Funktion, was bedeuten jedoch die zwei Klammern hinter dem B? So eine Notation hatten wir weder in der Vorlesung noch im Skript verwendet.

Ich bin um jeden Lösungsansatz dankbar,
Grüße CapCap 

Comments

\(f\) ist eine Polynomfunktion aus \(V\). Da \(B\) eine Abbildung von \(V\) nach \(V\) sein soll, ist \(B(f)\) wieder eine Polynomfunktion aus \(V\). \(B(f)(x)\equiv [B(f)](x)\) ist das Bild von \(x\) unter \(B(f)\).

Answer 1

Nun frag ich mich was das "B(f)(x)" bedeutet und was ich dabei beachten muss, sowie was eine "ausgezeichnete Basis" ist.

Die "ausgezeichnete Basis" wird darüber abgegeben:

Der Vektorraus besitzt eine ausgezeichnete Basis gegeben durch das Monom {1, x, x²}.

Soll wohl eher heißen "die Monome"

was bedeuten jedoch die zwei Klammern hinter dem B?

Jedem f wird ja ein anderes Polynom  B(f) zugeordnet.

Und da man ja bei Polynomen immer ein x drin hat, steht halt hinter dem B(f) nochmal (x)

Also ist B(1) = 1

B(x) = x+1 und

B(x²) = (x+1)²  .