Extremalwertaufgaben mit Zahlen berechnen. Bsp. Für welche Zahl x ist das Produkt am kleinsten?

Question

1.) gegeben sei die Zahl x

Man bilde das Produkt aus dem um 6 vergrößerten 4-fachen der Zahl x und dem um 7 verkleinerten doppelten der Zahl x. Für welche Zahl x ist das Produkt am kleinsten?

2.) Für welche Zahl ist das Produkt aus dem Drittel der Zahl und der um 12 vergrößerten Zahl am kleinsten? Gib das Minimum an!

Danke für die Hilfe!

Answer 1

> Man bilde das Produkt

        \(\square\cdot\square\)

> aus dem um 6 vergrößerten

        \((\square+6)\cdot\square\)

> 4-fachen der Zahl x

        \((4x+6)\cdot\square\)

> und dem um 7 verkleinerten

        \((4x+6)\cdot(\square-7)\)

> doppelten der Zahl x

        \((4x+6)\cdot(2x-7)\)

> Für welche Zahl x ist das Produkt am kleinsten?

Bestimme den tiefsten Punkt der Funktion

        \(f(x) = (4x+6)\cdot(2x-7)\).

Answer 2

2.) Für welche Zahl ist das Produkt aus dem Drittel der Zahl und der um 12 vergrößerten Zahl am kleinsten? Gib das Minimum an!

f ( x ) = ( x / 3 ) * ( x + 12 )
f ´( x ) = 1/3 * ( x + 12 ) + ( x / 3 * 1 )
f ´( x ) = x / 3 + 4 + x / 3
f ´( x ) = 2x / 3 + 4

2x / 3 + 4 = 0  | * 3
2x + 12 = 0
x = - 6

Das Ergebnis für einen Extrempunkt stimmt.

Es wäre noch zu zeigen das dies ein Tiefpunkt ist.