Extremalwertaufgaben: Wie komme ich mithilfe der Mantellinie auf die Nebenbedingung?

Question

Aufgabe:

Der Halbkugel mit dem Radius r=1 wird ein schiefer Kreiskegel einbeschrieben, von dem eine Mantellinie auf dem Grundkreis der Halbkugel liegt. Das Volumen des Kegels soll maximal sein. Gib es in Prozenten des Volumens der Halbkugel an.

Vorgehen:

1. Ich habe eine Skizze erstellt.

2. Ich habe einmal die Bedingungen aufgeschrieben

V_halbkreis = (4/3⋅π⋅r³)/2 = (2π)/3 

V_kreiskegel=1/3⋅π⋅r²⋅h

Ich weiss die Nebenbedingung muss etwas mit der Mantellinie (in der Skizze s) zutun haben. Aber ich finde es nicht heraus. Kann mir hier jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

> Mantellinie auf dem Grundkreis der Halbkugel liegt<

so wie in Deiner Skizze?

---

Guten Abend wächter

Bedeutet dies dass die Mantellinie gleich lang ist wie 2r oder wie?

---

Bedeutet dies dass die Mantellinie gleich lang ist wie 2r oder wie?

Nein - es bedeutet, dass die Mantellinie auf dem Grundkreis liegt. Wenn in Deiner Skizze die gelbe Strecke die Mantellinie sein soll, so liegt diese nicht auf dem Grundkreis!

... was aber nicht aussschließt, dass die Mantellinie eine Länge von 2r hat.

---

Ahh ok, dass heisst s liegt irgendwo auf 2r. Wie hilft mir dies nun genau?

Answer 1

Bisher komme ich nur soweit. Vielleicht ist das eine Lösungsmöglichkeit:

Comments

Verbesserung:

So könnte es klappen:

h^2=(1-u^2)+(1+u)^2=1-u^2+1+2u+u^2=2+2u

h=\( \sqrt{2+2u} \)

V=1/3*(0,5d)^2*π*h soll maximal werden.

d^2=(1-u^2)+(s/2-u)^2

d^2=(1-u^2)+(1-u)^2=1-u^2+1-2u+u^2=2-2u

V=1/3*(0,5d)^2*π*h=1/3*1/4(2-2u)*π*\( \sqrt{2+2u} \)

V´=...

---

Verbesserung:

\( V=\frac{1}{12} \cdot \pi \cdot[(2-2 u) \cdot \sqrt{2+2 u}] \)

\( \frac{d V}{d u}=\frac{1}{12} \cdot \pi \cdot\left[-2 \cdot \sqrt{2+2 u}+\frac{1-u}{\sqrt{2+2 u}}\right] \)

\( -2 \cdot \sqrt{2+2 u}+\frac{1-u}{\sqrt{2+2 u}}=0 \)

\( u=-\frac{3}{5} \)

---

Verbesserung:

d^2=(1-u^2)+(\( \frac{s}{2} \) -u)^2

u=-\( \frac{3}{5} \)    u^2=\( \frac{9}{25} \)         s=2     \( \frac{s}{2} \) =1

d^2=\( \frac{16}{25} \)+(\( \frac{8}{5} \))^2  =\( \frac{16}{25} \)+\( \frac{64}{25} \)=\( \frac{80}{25} \) =\( \frac{16}{5} \)

d=4/\( \sqrt{5} \)=0,8*\( \sqrt{5} \)

b^2+d^2=c^2       b^2=c^2-d^2     b^2=4-\( \frac{16}{5} \)=  \( \frac{4}{5} \)

b=\( \frac{2}{5} \)*\( \sqrt{5} \)

V=\( \frac{1}{3} \)*\( \frac{16}{5} \)*\( \frac{1}{5} \)*\( \sqrt{5} \)*π=\( \frac{16}{75} \)*\( \sqrt{5} \)*π≈1,5

---

V≈2,962VE

Zaubertrick !
Der Kegel hat größeres Volumen als die Halbkugel.

---

Jetzt ist es wiederum zu wenig, weil Kegelhöhe und -durchmesser in Wirklichkeit nicht gleich sind.

---

Aber für maximales Kegelvolumen liegt D nicht auf der y-Achse.

---

Die erste Zeile ist falsch, den Rest sehe ich mir nach deiner Korrektur an.

Answer 2

Aufgrund meines Modells würde ich mich auf die maximale Mantellinie auf dem Grundkreis konzentrieren

das x ist die y-Koordinate von E=(0,x,sqrt(R^2-x^2)), Kugelradius R=1

\(r \, :=    \, \frac{\sqrt{R^{2} + R \; x}}{\sqrt{2}}\)

\(h \, :=   \, \sqrt{2} \; \sqrt{R^{2} - R \; x}\)

V_max(x) liegt dann bei x=1/3

Wenn DU den Grundkreis anders anstellen willst müsste man neu verhandeln...

Comments

Add: Weil Du nach Nebenbedingungen suchst, könnte man sagen

wir bewegen uns in dem Dreieck

NB(r, h) := (2r)^2+h^2-(2R)^2

bei

f(r, h) := r^2*pi*h/3

und dann das LaGrange-Verfahren drauf los lassen...

\(  \left\{ r = \frac{\sqrt{6}}{3}, h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}, λ = \frac{-\sqrt{3}}{18} \; \pi \right\} \)