Wo ist der Unterschied zwischen den Areafunktionen?

Question

Hallöchen, ich habe hier 2 Formeln und würde gerne einmal wissen was nun die wirklich artanh(x) funktion ist.

1) artanh(x) = ln(sqrt((1+x)/(1-x)))

2) artanh(x) = 1/2*ln(sqrt((1+x)/(1-x)))

Lg

Answer 1

Das hier gilt:

~plot~ atanh(x); 1/2 ln((1+x)/(1-x)) ~plot~

Ziehe den Faktor 1/2 in den ln, also ist 1) auch richtig

~plot~ atanh(x); ln(sqrt((1+x)/(1-x))) ~plot~

2) ist offenbar Unfug:

~plot~ atanh(x); 1/2 ln(sqrt((1+x)/(1-x))) ~plot~

Beachte das Logarithmus Gesetz:

$$ \ln(a^b)=a\ln(b)$$ und die Eigenschaft $$ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} $$

Answer 2

wenn dich interessiert, was artanh(x), so berechne es:
Es ist tanh(x)=Sinh(x)/cosh(x)
=(e^x - e^{-x})/(e^x+e^{-x})=y

Stelle nun nach x um und vertauschen zum Schluss die Variablen.

Answer 3

$$ \text{artanh}(x) = \dfrac 12 \cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \dfrac 12 \cdot \ln\left( \sqrt{ \frac{1+x}{1-x} }\right) $$ für \(-1 < x < 1\) ist richtig.

Comments

Einmal 1/2 zu viel ? 

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So ist es. Es sollte natürlich

$$ \text{artanh}(x) = \dfrac 12 \cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln\left( \sqrt{ \frac{1+x}{1-x} }\right) $$heißen, Da habe ich entweder zu viel kopiert oder zu wenig gelöscht... :-)

Answer 4

Meinst du vielleicht: 

1) artanh(x) = ln(sqrt((1+x)/(1-x)))

2) artanh(x) = 1/2*ln((1+x)/(1-x))

oder etwas Ähnliches? 

Repetiere Potenz- und Logarithmengesetze: 

unter der Voraussetzung, dass alles definiert ist.

ln(a^b) 

= b*ln(a) 

und 

√(a) = a^{1/2} 

Somit 

ln(√(a)) = 1/2 ln(a)