Question

Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz prüfen:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}+2} \)

Ich wollte hier das Leibniz Kriterium anwenden. Dabei muss ich zeigen, dass es eine monoton fallende Nullfolge ist.

Wie würde man das zeigen? An sich sieht man ja schon, dass es fallend ist, da der Nenner immer größer ist.

Wäre das Folgende so richtig um zu zeigen das es konvergent ist?

0 ≤ 1 / (√k²+1)+2 = 1/ (√k² +1)+2 = 1/ k(√2/k²)+2 → 0

Answer 1

Hi,

es gilt:

$$\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2}<\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}<\frac{1}{\sqrt{k^2}}=\frac{1}{k}$$

\(\frac{1}{k}\) ist offensichtlich eine Nullfolge und somit auch \(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2}\) :)

Monoton fallend gilt auch offensichtlich. Wieso?

Comments

Dachte da man sowieso sieht das der nenner immer grösser ist als der Zähler und stets immer grösser wird muss sie ja immer weiter fallen . Ist der Gedanke richtig ?

---

Ja, das reicht aus, um zu sagen, dass die Folge monoton fallend ist.

Würde dann halt \(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2}>\frac{1}{\sqrt{(k+1)^2+1}+2}\) noch mal extra hinschreiben. Vielleicht kannst du noch zusätzlich hinschreiben, dass das klar ist, da \(k<k+1\), woraus ja \(\frac{1}{k}> \frac{1}{k+1}\) usw. folgt.

Das mit der Nullfolge musst du aber entweder so machen wie ich oder irgendwie anders halt.

---

Und war es richtig wie ich es auf Konvergenz geprüft hab ? 

0 ≤ 1 / (√k2+1)+2 = 1/ (√k2 +1)+2 = 1/ k(√2/k2)+2 -->  0   

---

Leider weiß ich nicht wie du auf den letzten Bruch kommst. Wenn ich \(k\) aus der Wurzel ziehe, erhalte ich \(\frac{1}{k \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}+2}\). Meinst du das?

---

Genau ! Somit wäre es unter der Wurzel eine √1 da 1/k2 0 ist .

---

Ja, so kannst du das auch machen theoretisch, also das ist korrekt. Aber wirklich schöner als dein Ausgangsterm ist das nicht. Würde es eher so machen wie ich es gemacht habe.

---

Ja kenne mich hier noch nicht so gut aus würde es auf ein Blatt auch sowas aufschreiben wie du . 

---

Also ich meinte, dass du den Term mit \(\frac{1}{k}\) abschätzen solltest. Der andere Term ist nicht wirklich schöner als \(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2} \).

---

was müsste ich jetzt für die absolute Konvergenz zeigen ? da habe ich leider überhaupt keine Ahnung

---

Absolute Konvergenz bedeutet ja, dass

$$\sum_{k=1}^{\infty} \vert  \frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+1}+2} \vert  =\sum_{k=1}^{\infty}  \frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2}$$endlich ist.

Es gilt: \(\frac{1}{\sqrt{k^2+1}+2}<\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)

Sei \(a_k=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\).

Verwende nun das Quotientenkriterium.

---

quotienten kriterium sagt ja eigentlich lim | a_n +1 /  a_n | < 1  nur weiss ich nicht wie ich das mit dem a_k veranschauliche 

---

Du musst überprüfen, ob \( lim_{k \to \infty}  \vert \frac{a_{k+1}}{a_k} \vert <1\) gilt. Dann hast du die absolute Konvergenz.

---

also ist nenner und zähler a_k  wenn ja leuchtet es mir ein .

---

Es ist \(a_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{(k+1)^2+1}} \) und  \(a_k=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}} \). Nun musst du schauen, ob der Grenzwert des Bruchs echt kleiner als 1 ist.

---

ja ok kann ja nur kleiner sein. da der nenner immer kleiner ist als der nenner . danke !