Stationäre Punkte bestimmen und klassifizieren

Question

stehe vor folgender Aufgabe, die mich jetzt länger beschäftigt als sie eigentlich sollte, deshalb wende ich mich nun hilfesuchend an euch.

Aufgabe: Bestimmen sie alle stationären Punkte und klassifizieren sie diese.

F(x,y)= 2x^3 - 3xy + y^3

Ich weiß leider nicht mehr wirklich wie die Vorgehensweise zur Berechnung von stationären Punkten aussieht. 

für die Hilfe :)

Answer 1

stationäre Punkte sind die, bei denen beide partielle Ableitungen 0 sind, also hier

F_x(x,y)= 6x² - 3y = 0   und  F_y(x,y)= - 3x + 3y²  = 0 

          y = 2x²           gibt  dann      - 3x + 3(2x²)²  = 0     

                                                       -3x + 12x⁴ = 0

                                                              -3x * ( 1 + 4x⁴) = 0

                                                                 x = 0  oder  x = ±1/√2

      also y = 0 

oder im anderen Fall y = 1 .

Also 3 Punkte (0;0)  ; (1/√2 ; 1 ) und (1 ; -1/√2).

Klassifizierung vornehmen wie bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix#Extremwerte

Comments

>   -3x * ( 1 + 4x^4) = 0  

Das muss wohl     -3x * ( 1 - 4x^3) = 0   heißen   

Kritische Punkte:

(0|0)  und ( ³√2 / 2 | ³√4 /2)   

---

Ganz recht, hab wieder mal nicht genau hingeschaut.

Answer 2

Kontrollieren kannst Du das Ganze mit diesem Link:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=stationary+points+2x%5E3+-+3xy+%2B+y%5E3