f(x,y)=y2 *(x-1)+x² *(x+1)=y^2*(x-1)+x^3+x^2
kritische Punkte:
df/dx=y^2+3x^2+2x=0
df/dy=2y*(x-1)=0
Aus der zweiten Gleichung folgt, entweder 1.Fall y=0 oder 2.Fall x=1
1.Fall in erste Gleichung einsetzen:
y^2+3x^2+2x=3x^2+2x=x*(3x+2)=0 --> x=0 oder x=-2/3
2. Fall in erste Gleichung einsetzen:
y^2+3x^2+2x=y^2+5=0 --> keine Lösung für y ∈ℝ
Der zweite Fall bringt also keine kritischen Punkte. Die einzigen Punkte aus Fall 1 sind
(0,0) und (-2/3,0)
Zur Unterscheidung, ob es sich bei den beiden Punkten um Extrem- bzw. Sattelstellen handelt, berechnen wir die Hesse-Matrix:
H=((fxx,fxy),(fyx,fyy))=((6x+2,2y)(2y,x-1))
Punkt (0,0) einsetzen:
H(0,0)=((2,0)(0,-1))
Von dieser Matrix können wir die Eigenwerte bestimmen, sie lauten λ1=2 und λ2=-1 (wegen der Diagonalgestalt).
Da ein Eigenwert größer Null und der andere Eigenwert kleiner Null ist, ist die Matrix indefinit und somit (0,0) ein Sattelpunkt.
Das selbe Verfahren machen wir mit (-2/3,0)
H(-2/3,0)=((-2,0)(0,-5/3))
λ1=-2 und λ2=-5/3
Beide Eigenwerte sind negativ--> Matrix negativ definit--> (-2/3,0) Maximum