Stationäre Punkte bestimmen sowie Extremwerte

Question

ich habe Schwierigkeit bei dieser Aufgabe:

Berechnen Sie die stationären Punkte. (Min/Max oder Sat)

f(x,y) = y² *(x-1)+x² *(x+1)

Ich bin leider nicht so fit in diesen Themengebiet.

Answer 1

f(x,y)=y² *(x-1)+x² *(x+1)=y^2*(x-1)+x^3+x^2

kritische Punkte:

df/dx=y^2+3x^2+2x=0

df/dy=2y*(x-1)=0

Aus der zweiten Gleichung folgt, entweder 1.Fall y=0 oder 2.Fall x=1

1.Fall in erste Gleichung einsetzen:

y^2+3x^2+2x=3x^2+2x=x*(3x+2)=0 --> x=0 oder x=-2/3

2. Fall in erste Gleichung einsetzen:

y^2+3x^2+2x=y^2+5=0 --> keine Lösung für y ∈ℝ

Der zweite Fall bringt also keine kritischen Punkte. Die einzigen Punkte aus Fall 1 sind

(0,0) und (-2/3,0)

Zur Unterscheidung, ob es sich bei den beiden Punkten um Extrem- bzw. Sattelstellen handelt, berechnen wir die Hesse-Matrix:

H=((f_xx,f_xy),(f_yx,f_yy))=((6x+2,2y)(2y,x-1))

Punkt (0,0) einsetzen:

H(0,0)=((2,0)(0,-1))

Von dieser Matrix können wir die Eigenwerte bestimmen, sie lauten λ₁=2 und λ₂=-1 (wegen der Diagonalgestalt).

Da ein Eigenwert größer Null und der andere Eigenwert kleiner Null ist, ist die Matrix indefinit und somit (0,0) ein Sattelpunkt.

Das selbe Verfahren machen wir mit (-2/3,0)

H(-2/3,0)=((-2,0)(0,-5/3))

λ₁=-2 und λ₂=-5/3

Beide Eigenwerte sind negativ--> Matrix negativ definit--> (-2/3,0) Maximum