Ersten zwei Ableitungen von Funktionen mit Rechenweg! Bsp: f(x)=1/2x^4+3x^3-x+1/4

Question

Aufgabe1:

f(x)=1/2x^4+3x^3-x+1/4

2. Aufgabe

f(t)=3/4-1/2t^2+1/6t^6

3 Aufgabe

g(z)=1/2z^4-5z+3

4. Aufgabe

f(x)= x^3/6+x/2

5. Aufgabe

f(x)=2x^3/3-x/2+1/4

6.Aufgabe

g(t)=2t^3-4t+1/6

Bitte auch angeben wie die Rechenart heißt um die es sich handelt.

Danke fürs Lösen!

Andi137

Comments

1. ist gar nicht klar um was es geht, auch wenn man eine Nullstellensuche vermuten kann.

2. sind 6 Aufgaben sehr viel, da man hier mit "normalen" Methoden zumeist gar nicht rangehen kann. Oft würde hier wohl das Newtonverfahren zum Zuge kommen. Das ist aber doch recht aufwendig.

Wenn Du nur am Rechenverfahren interessiert bist und beim Rest nur an der Lösung genug hast, weil Du es dann selbst nachrechnest, kann ich mich an die Erarbeitung machen ;).

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@andi137: Was ist die Aufgabe? Nullstelle gesucht? Ableitung bilden? ...

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da steht nur gib in aufgabe 10-13 die ersten 2 ableitungen an....

@Unknown das wäre hilfreich, ich will so viel es geht darüber lernen!

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mich würde interessieren in wie weit man das weiterrechnen kann und was am Ende dabei rauskommt.

Answer 1

Hi andi,

nun da klar ist, dass man die Ableitungen sucht ist die Sache bearbeitbar.

 

Generell gilt hier eigentlich summandenweise abzuleiten.

Dabei geht man nach f(x) = ax^n -> f'(x) = nax^{n-1} vor

Aufgabe1:

f(x)=1/2x⁴+3x³-x+1/4

f'(x) = 2x^3+9x^2-1

f''(x) = 6x^2+18x

 

2. Aufgabe

f(t)=3/4-1/2t²+1/6t⁶

f'(t) = -t+t^5

f''(t) = -1+5t^4

 

3 Aufgabe

g(z)=1/2z⁴-5z+3

g'(z) = 2z^3-5

g''(z) = 6z^2

4. Aufgabe

f(x)= x³/6+x/2

f'(x) = 1/2x^2+1/2

f''(x) = x

5. Aufgabe

f(x)=2x³/3-x/2+1/4

f'(x) = 2x^2-1/2

f''(x) = 4x

6.Aufgabe

g(t)=2t³-4t+1/6

g'(t) = 6t^2-4

g''(t) = 12t

 

"Tricks" sind hier also, dass man sich nicht verwirren lässt, dass nicht immer nach x abgeleitet wird, sondern auch beispielsweise nach t. Nach was abgeleitet wird, wird in der Klammer (bspw. g(t)) gesagt.

Außerdem -> Beim Ableiten fallen (konstante) Zahlen weg ;).

 

Klar?

Grüße

Comments

hey ab der 4 ist nicht ganz klar...

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also die 4 und 5 die 6 ist wieder klar...

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Einfach die Brüche anders schreiben:

4)

f(x) = x³/6 + x/2 = x³ * 1/6 + x * 1/2

f'(x) = 3 * x² * 1/6 + 1/2 = 3/6 * x² + 1/2 = 1/2 * x² + 1/2

f''(x) = 2 * 1/2 * x = x

5) 

f(x) = 2x³/3 - x/2 + 1/4 = 2x³ * 1/3 - x * 1/2 + 1/4

f'(x) = 3 * 2x² * 1/3 - 1/2 = 2x² - 1/2

f''(x) = 4x

Jetzt klar?

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f'(x) = 3 * x² * 1/6 + 1/2

warum fällt da das x weg und nicht 1/6?

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f(x) = x³ * 1/6 + x * 1/2

Exponenten mit Koeffizientem multiplizieren: 

x³ * 3 * 1/6 + x * 1 * 1/2

Und dann die Exponenten um 1 verringern:

x² * 3 * 1/6 + x⁰ * 1 * 1/2

f'(x) = x² * 3/6 + 1 * 1 * 1/2 = x² * 1/2 + 1/2 = 1/2 * x² + 1/2

Wenn mit einer konstanten Zahl multipliziert wird, fällt diese nicht weg; eine konstante Zahl fällt nur dann weg, wenn sie addiert oder subtrahiert wird. 

Grund dafür: Wenn man zu einer Funktion eine Konstante addiert, wird die Funktion nach oben oder unten verschoben, es ändert sich aber nichts an ihrer Steigung. Zum Beispiel: 

f(x) = x²

f'(x) = 2x

g(x) = x² + 200

g'(x) = 2x

Answer 2

Hi andi, 

wenn ich es richtig verstehe, sind von allen Aufgaben die ersten 2 Ableitungen gesucht. 

Das nennt sich Differenzialrechnung, die Ableitung einer Funktion gibt den Anstieg der Funktion an; die zweite Ableitung gibt den Anstieg der ersten Ableitung an usw. 

Man braucht es zum Beispiel für das Finden von Extremwerten und Wendepunkten einer Funktion. 

Das Vorgehen ist ganz einfach: 

Man multipliziert den Koeffizienten einer Variablen mit dem entsprechenden Exponenten, dann verringert man den Exponenten um 1.

Konstante fallen bei Ableitungen weg.

 

Aufgabe 1)

f(x) = 1/2 * x⁴ + 3 * x³ - x + 1/4

f'(x) = 4 * 1/2 * x^4-1 + 3 * 3 * x^3-1 - 1 * x^1-1 =

2 * x³ + 9 * x² - 1

f''(x) = 3 * 2 * x^3-1 + 2 * 9 * x^2-1 =

6 * x² + 18 * x

 

Aufgabe 2)

f(t) = 3/4 - 1/2 * t² + 1/6 * t⁶

f'(t) = -2 * 1/2 * t^2-1 + 6 * 1/6 * t^6-1 =

-t + t⁵

f''(t) = -1 + 5t⁴

 

Aufgabe 3)

g(z) = 1/2 * z⁴ - 5z + 3

g'(z) = 2 * z³ - 5

g''(z) = 6 * z²

 

Aufgabe 4)

f(x) = x³/6 + x/2

f'(x) = x²/2 + 1/2

f''(x) = x

 

Aufgabe 5)

f(x) = 2x³/3 - x/2 + 1/4

f'(x) = 2x² - 1/2

f''(x) = 4x

 

Aufgabe 6)

g(t) = 2t³ - 4t + 1/6

g'(t) = 6t² - 4

g''(t) = 12t

 

Besten Gruß