Kostenminimum einer Kostenfunktion beweisen

Question

Guten Morgen liebe Community,

ich stehe mal wieder vor einem Mathe Problem. Ich soll folgendes beweisen:

Gegeben ist die Produktionsfunktion f(x) = 20 * x^0,2* y^0,8. Für die Kosten gilt px = 3 und py = 6.
a) Beweisen Sie, dass für die Produktionsmenge 10.000 das Kostenminimum 2x = y gilt.

Wie mache ich das? Ich habe versucht f'(x) zu bilden und das = 0 zusetzen. komme aber nicht auf das Ergebnis :/

Peter

Answer 1

Ansatz und Ergebnis kannst du dir zunächst bei Wolfram anschauen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+3x%2B6y+with+20x%5E0.2y%5E0.8%3D10000,x>%3D0,y>%3D0

f(x) ist die Produktionsfunktion. Die brauchst du sicher nicht ableiten, denn davon suchst du nicht das Minimum oder Maximum. Du solltest die Kostenfunktion ableiten, denn von dieser suchst du das Minimum.

Hast du schon mit mehreren Unbekannten hantiert? Eventuell sollst du das mit Lagrange machen.

Comments

Schau dir auch nochmals deine Erste Frage hier an.

Ist ja dasselbe Prinzip.

https://www.mathelounge.de/504435/maximieren-der-produktionshohe-mit-einem-gegebenen-budget

---

Ja ich habe schon mit Lagrange hantiert. Aber wie ist die Ausgangsfunktion?

Bis jetzt dachte ich immer das etwa so ist: 
Hauptfunktion: f(x) = 3x +4y  

Nebenfunktion:  100 = k(x) = x^0.5 * y^0.5

und dann lagrange
L(x,y,z): 3x+4y + z*(x^0.5*y^0.5-100)

---

Deine Kostenfunktion ist doch schon falsch und ich glaube auch in der Nebenbedingung ist ein Fehler.

Erwarte nicht, dass du ein richtiges Ergebnis bekommst, wenn du nicht mit den richtigen Angaben rechnest.

---

Das sollte auch nur ein Beispiel sein.
Das einzige wobei ich hilfe brauche wäre die Kostenfunktion:

L(x,y,z) = 20*x^0.2*y^0.8+z*(-10000)

In die Klammer müssen ja noch mehr bedinungen aber ich verstehe nicht welche!

---

Die Lagrange-Funktion würde so aussehen

L = 3·x + 6·y - k·(20·x^0.2·y^0.8 - 10000)

Vor die Klammer kommt die Hauptbedingung. Also das was optimiert werden soll. In die Klammer kommt immer die Nebenbedingung.

---

Sorry. Hatte die 20 noch in der Klammer vergessen und gerade eingefügt.

---

Dürfte ich dich noch einmal belästigen?
Woher weiß ich das die Produktionsfunktion in diesem Beispiel meine Nebenfunktion ist und nicht meine Hauptfunktion?

---

Naja trotzdem danke für deine Hilfe :)

---

Die Nebenbedingung ist immer gegeben:

Produktionsmenge 10.000

Die Hauptbedingung ist das was zu optimieren ist.

das Kostenminimum.

Die Kosten sind zu minimieren für eine gegebene Produktionsmenge von 10000.