Polynom in Polarkoordinaten

Question

Hi,

Ich habe drei Punkte (-2, -3),  (0,1),  (1,0) durch diese Punkte soll ich ein Polynom finden.

Das Polynom sieht dann wie folgt aus:

$$ -{ x }^{ 2 }+1\quad =\quad 0 $$

Nun soll ich aber das Polynom in Polarkoordinaten umformen.

Ist dies der richtige Weg?

$$ { -(r\quad *\quad cos\emptyset ) }^{ 2 }+1\quad =\quad 0 $$

$$ { -(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } *\quad cos(arctan(\frac { y }{ x } ))) }^{ 2 }+1\quad =\quad 0 $$

Answer 1

Hallo nomads,

Die Polynom-Funktion ist

$$ y=-x^2+1 $$ Substituiere \(y=r \cdot \sin \varphi\) und \(x = r \cdot \cos \varphi\), dann erhält man:
$$ r\cdot \sin \varphi = -r^2 \cdot \cos^2 \varphi + 1 $$$$ r^2 \cdot \cos^2 \varphi + r\cdot \sin \varphi -1 = 0$$ Auflösen nach \(r\) nach Mitternachtsformel:
$$\begin{aligned} r_{1,2} &= \frac{-\sin \varphi \pm \sqrt{\sin^2 \varphi + 4 \cdot \cos^2 \varphi}}{2 \cdot \cos^2 \varphi} \\ &= \frac{-\sin \varphi \pm \sqrt{1 + 3 \cdot \cos^2 \varphi}}{2 \cdot \cos^2 \varphi} \end{aligned}$$

nach Überprüfen des \(\pm\) bleibt die Version mit \(+\) übrig. Die Polarkoordinatenform ist:

$$r(\varphi) =\frac{-\sin \varphi + \sqrt{1 + 3 \cdot \cos^2 \varphi}}{2 \cdot \cos^2 \varphi }$$

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vielen Dank für deine Hilfe