Ganzrationale Funktion bestimmen mit 5 Punkten?

Question

oben steht meine Frage, man soll eine Funktion 3. Grades ermitteln mithilfe von 5 Punkten, also ich kann Geradengleichungen aufstellen, nur hier weiß ich nicht wie das gehen soll, da ich bei f(x)= ax^3+bx^2+cx+d nur 4 und nicht 5 unbekannten habe.. Es handelt sich hier um die Aufgabe 3.1 , ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!!!

Anbei, falls man es nicht lesen kann , die Funktion muss aus den Punkten P1(0|56), P2(54|43), P3(81|36), P4(108|32) und P5(162|28)  bestehen .

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Anbei, falls man es nicht lesen kann , die Funktion muss aus den Punkten P1(0|56), P2(54|43), P3(81|36), P4(108|32) und P5(162|28)  bestehen 

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Mit fünf Punkten ist die Aufgabe "bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades" überbestimmt. Dennoch muss sie nicht unlösbar sein.

Da die Aufgabe die Verwendung eines "GTR/CAS" erlaubt, soll dieser hier wohl benutzt werden. Um welchen handelt es sich in deinem Fall denn genau?

(Die Aufgabe selbst habe ich mir noch nicht angesehen!)

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Das hier ist der Taschenrechner welchen ich habe, aber was ich mit CAS & GTR gemeint? Vielen Dank 

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Mit der Methode, die ich beschrieben habe, kommt man zu folgendem Gleichungssystem:

\(\begin{aligned}12400290d+1752692418c+260432662050b+39939178211010a&=370512792\\94770d+12400290c+1752692418b+260432662050a&=2939328\\810d+94770c+12400290b+1752692418a&=26460\\10d+810c+94770b+12400290a&=390\end{aligned}\)

Gleichungssysteme mit vier Unbekannten kann der gezeigte Taschenrechner nicht lösen. Und die Zahlen sind so groß, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass du es von Hand lösen sollst.

Das Gleichungssystem liefert aber die unter 3.2 angegebene Lösung.

> aber was ich mit CAS & GTR gemeint

GTR: Grafikfähiger Taschenrechner. Ein Taschenrehner, der Grafiken anzeigen kann, zum Beispiel Funktionsgraphen. Zum Beispiel der Casio fx-CG20.

CAS: Computeralgebrasystem. Ein Computeprogramm, mit dem man symbolisch Rechnen kann, zum Beispiel Ableitungsfunktionen berechnen und Gleichungsumformungen durchführen. Auch Taschenrechner, die über ein solche Computerprogramm verfügen, werden als CAS bezeichnet, zum Beispiel der TI Nspire CAS.

Die zwei genannten Rechner könnten das Gleichungssystem mühelos lösen. Der TI Nspire kann sogar auf Basis von

        f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

        d(a,b,c,d) = (f(0) - 56)² + (f(54) - 43)² + (f(81) - 36)² + (f(108) - 32)² + (f(162) - 28)²

die vier Ableitungen bestimmen, gleich 0 setzen und so das Gleichungsystem erstellen.

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oben steht meine Frage, man soll eine Funktion 3. Grades ermitteln mithilfe von 5 Punkten, 

oben steht meine Frage, man soll eine Näherungs-Funktion 3. Grades ermitteln mithilfe von 5 Punkten

Die Punkte liegen also nicht genau auf einer
Funktion 3.Grades sondern es soll mithilfe
GTR/CAS die bestmögliche Ausgleichsfunktion
ermittelt werden.

Dein Taschenrechner wird eine Funktion
dafür haben. Eine manuelle Berechnung
wird nicht notwendig sein.

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Dein Taschenrechner hat keine Funktion
zur Lösung der Aufgabe 3.1.
Falls dies eine Hausaufgabe ist würde ich
abwarten bsi diese im Unterricht besprochen
wird oder meine Mitschüler fragen.

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danke, aber es ist eine Abiaufgabe D: und die Lösung verstehe ich auch nicht.

Answer 1

Methode der kleinsten Quadrate:

Sei f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Bestimme

     d(a,b,c,d) = (f(0) - 56)² + (f(54) - 43)² + (f(81) - 36)² + (f(108) - 32)² + (f(162) - 28)²

Das ist die sozusagen die Abweichung der Funktion f an den Stützstellen. Diese soll möglichst klein werden. Also Nullstellen der Ableitung bestimmen, und zwar für jede einzelne Variable:

        Leite nach a ab, setze gleich 0.

        Leite nach b ab, setze gleich 0.

        Leite nach c ab, setze gleich 0.

        Leite nach d ab, setze gleich 0.

Du hast jetzt ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Variablen. Löse es.