Zeigen dass es ein Polynom vom Grad <=n gibt, so dass f(xi)=yi für i=0,...n.

Question

Also (1) ging ziemlich fix, da wenn man für t (x_i) oder (x_k) einsetzt auf das richtige Ergebnis kommt.

Aber was ist genau bei (2) gesucht? Ich weiß aus der Aufgabenstellung dass die Funktion injektiv ist, aber ich bin mir nicht sicher was gefragt ist. Muss ich t und k Werte suchen, dass x_i = y_i ist?

Liebe Grüße und

Comments

> Ich weiß aus der Aufgabenstellung dass die Funktion injektiv ist

Wenn die Funktion injektiv ist, dann muss f(x₁) ≠ f(x₂) sein, weil x₁ ≠ x₂ ist.

Es ist f(x₁) = y₁ und f(x₂) = y₂. Welchem Teil der Aufgabenstellung hast du entnommen, dass y₁ ≠ y₂ sein muss?

Answer 1

Hi,
das Polynom $$ f(x) = \sum_{k=0}^n y_k g_k(x) $$ erfüllt die Bedingung \( f(x_i) = y_i \) weil gilt
$$ f(x_i) = \sum_{k=0}^n y_k \delta_{ki} = y_i  $$

Sei \( h(x) \) ein weiteres Polynom mit \( g(x_i) = y_i \) dann hat das Polynom \( p(x) = f(x) - h(x) \) aber \( n+1 \) Nullstellen, nämlich \( x_i \text{ mit } i=0, \cdots ,n \). Da ein Polynom n-ten Grades ungleich dem Nullpolynom aber maximal nur \( n \) Nullstellen haben kann, muss das Polynom \( p(x) \) das Nullpolynom sein, also gilt \( f(x) = h(x) \)