Die Rückrichtung ist leicht.
Wenn w = 0, dann ist f-1(w) = kern(f)
kern(f) erfüllt die Eigenschaften eines Unterraums, denn:
1) Seien u, v ∈ kern(f):
⇒ f(u+v) = f(u)+f(v) = 0+0 = 0
⇒ u+v ∈ f-1(w)
2) Sei u ∈ kern(f), α aus dem Grundkörper.
Dann gilt:
f(αu) = αf(u) = 0
⇒ αu ∈ f-1(w)
3) Außerdem ist die 0 stets Element von kern(f). Das ist für jede lineare Abbildung so. Beweis erfolgt durch Annahme des Gegenteils:
Sei f(0) = c ≠ 0
Dann gilt wegen der Linearität von f: f(a+0) = f(a)+f(0) = f(a)+c
Gleichzeitig gilt aber f(a+0) = f(a). Das ist ein Widerspruch.
Für die Hinrichtung:
Sei f-1(w) ein Unterraum von V.
Da f-1(w) ein Unterraum ist, muss für u, v aus f-1(w) gelten:
f(u+v) = w
f(u+v) = f(u)+f(v)
wegen der Linearität von f. Außerdem sind u, v ∈ f-1(w) also gilt: f(u)=f(v) = w.
Also:
f(u+v) = f(u)+f(v) = w+w = 2w
Es gilt also:
w = 2w
Subtrahiert man auf beiden Seiten w:
w = 0.