Mach dir erst mal klar wie die gk(t) aufgebaut sind:
Wenn du etwa die Punkte (1;2) (3;4) (5/6) hast , dann ist
g1(t) = (t-3)(t-5) / (1-3)(1-5)
also im Zähler stehen immer Differenzen t-xi für alle i außer für
den Wert von i, der der Nummer an dem g entspricht. Und im
Nenner fast das Gleiche, nur mit dem x-Wert des 1. Punktes
an Stelle von t.
Wenn du nun den x-Wert eines der anderen beiden Punkten einsetzt,
dann hast du im Zähler eine 0, weil eine der beiden Klammern dann 0
ist, also gibt g1(3) und g1(5) jedenfalls 0.
Wenn du den x-Wert des 1. Punktes einsetzt, steht im Zähler das Gleiche
wie im Nenner, also gibt es 1.
Schreib die vielleicht auch g2 und g3 auf und vergleiche.
Die Lösung zu Teil (1) könnte also heißen:
Sei i≠k, dann hat der i-te Faktor des Produktes im Zähler von
gk(xi) den Wert 0, also ist gk(xi) = 0.
Ist i=k so stehen im Zähler und Nenner von gk(xi) genau
die gleichen Faktoren, also gibt es eine 1.
Bei (2) bildest du einfach die Summe
$$ p(t)=\sum_{k=0}^{n}{{y}_{k}*{g}_{k}(t)} $$
Dann ist der k-te Summand für t=xk gleich yk und
alle anderen sind 0, also erfüllt p(t) genau die
gestellte Bedingung. siehe auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Lagrangesche_Interpolationsformel
