Aufgabe:
SeiKeinKörper.EineFunktionf:K→KderBauartx→anxn+an−1xn−1+···+a0mit n ∈ N und a0, a1, . . . , an ∈ K heißt eine Polynomfunktion.
(a) Zeige: Alle Polynomfunktionen bilden einen Unterraum T von K K .
(b) Gib ein Erzeugendensystem von T an, das von T verschieden ist.
(c) Bestimme für K = Z2 aus dem in (b) gefundenen Erzeugendensystem eine Basis von T. Stelle für alle n ∈ N die Funktionen x → xn als Linearkombinationen dieser Basis dar.
(d) Löse die Aufgabe aus (c) für K = Z3.
Hinweis: Überlegen Sie, wie viele Funktionen von K nach K es gibt, wenn K eine endliche Menge ist. Die Anzahl der Polynomfunktionen ist höchstens so groß.
