Warum sind die Vektoren linear unabhängig, wenn Null herauskommt?

Question

Definition:

Sei n ∈ ℕ. Die Vektoren \( v_1, v_2, ..., v_n \) des K-Vektorraums V heißen linear unabhängig, wenn für jede beliebige Linearkombination der Vektoren gilt:

\( λ_1 v_1 + λ_2 v_2 + ... λ_n v_n = 0 ⇒ λ_1 = λ_2 = ... = λ_n = 0 \)

Das leuchtet mir nicht ein. Ich bin für jede Erklärung unendlich dankbar.

Comments

Das hier ist ja die Definition von "linear unabhängig." Definitionen kann man nicht gross beweisen. Allenfalls kann man begründen, warum der definierte Begriff interessant ist. 

Answer 1

Stell dir vor es wäre (mindestens) eines Lambdas nicht 0, etwa λ₁ ≠ 0.

Dann kannst du die Gleichung umstellen

            λ₁v₁ = -  λ₂v₂  -  λ₃v₃ - .....-  λ_nv_n   

        und wegen λ₁ ≠ 0 kannst du durch λ₁ dividieren und 

erhältst   v₁ = -  λ₂/λ₁ v2  -  λ₃/λ₁v3 - .....-  λ_n/λ₁ vn   

und dann ist also v₁ eine Linerakombination der 

übrigen Vektoren und man sieht vielleicht eher

ein, warum das dann "linear abhängig" heißt.

v₁ hängt sozusagen von den anderen ab.

Und das Gegenteil "linear unabhängig" soll also 

ausdrücken, dass es keinen von den Vektoren 

gibt, der in diesem Sinne von den anderen abhängt,

und das ist eben der Fall, wenn in der gegebenen

Gleichung alle Lambdas 0 sein müssen.

Comments

vielen Dank. das hilft mal weiter und habe ich auch schon mal wo gehört, aber wohl ausgeblendet :) - ich weiß ich will viel - kann man das auch grafisch irgendwie veranschaulichen? gibt es da vielleicht sogar irgendwelche Animationen? ich selber habe nichts Grafisches dazu gefunden

---

grafisch macht ja nur Sinn bis höchstens dreidimensional.

Z.B. die drei Einheitsvektoren auf der x,y und z Achse sind 

linear unabhängig, während etwa die beiden 

auf der x und y-Achse und der auf der dazugehörigen

Winkelhalbierenden sind lin. abhängig; denn den 

letzten kann man als Summe der beiden anderen darstellen.

Überhaupt heißt lin. abh. im Raum:

Die liegen alle parallel zu der gleichen Ebene.