Berechnen den folgenden Grenzwert

Question

Kenn mir jemand bitte bei diesem Grenzwert helfen, ich hab es sogar mit Wolframalpha versucht aber es kommt nichts raus.

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Bitte Fragen (gerade Gleichungen ...) auch in kopierbarer Form zur Verfügung stellen https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Answer 1

benutze folgendes:

die Wurzel im linken LN kannst du für große x annähern:

Sqrt(1+x^2)≈sqrt(x^2)=x

damit hast du den einfacher zu behandelnden Term

x*[LN(1+x)-LN(x)]

=x*[LN(1+1/x)]

=LN((1+1/x)^x)

Kannst du jetzt den Grenzwert ablesen?

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$$ Ln(e)=1 $$

Danke :D

Answer 2

Hi,

es gilt:

$$ x \cdot \left( ln( 1 + \sqrt{1+ x^2}) - ln(x) \right) = x \cdot ln\left( \frac{1}{x}+ \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right)$$

Außerdem: \( \lim_{x \to \infty} x = \infty \) und \(  \lim_{x \to \infty} ln\left( \frac{1}{x}+ \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right) = ln(1)=0\)

Wende l'Hopital an auf:

$$\frac{x}{\frac{1}{ ln\left( \frac{1}{x}+ \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right) }} $$

Comments

dann kommt lim x->Inf  1/1/(sqrt(1/x^2 +1)*x^2*ln(sqrt(1/x^2 +1) +1/x)) =

(setzen inf ein) 1/(1*inf*1) = 0 Richtig ?

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Ich setze mal \(z= \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\) damit ich weniger Schreibarbeit habe im Term:

$$\frac{ ln(\frac{1}{x}+z)^2 \cdot (\frac{1}{x}+z)}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3 \cdot z}} $$

Der Grenzwert ist ebenfalls 0. Dein Term sieht allerdings anders aus. Denke an die Kettenregel. Die wird mehrfmals bei der Ableitung von \(ln(\frac{1}{x}+z)\) angewendet.

Allgemeiner Hinweis: Mache deine Terme in Dollarzeichen: $$ Hier steht der Term $ $

(Nur ohne die Lücke zwischen den beiden letzten Dollarzeichen.)

Oder: \(\backslash ( \text{Hier steht der  Term}\backslash ) \)

Dann kann man deine Terme besser erkennen :)

Statt "sqrt" musst du dann halt "\sqrt{ Hier steht das was in der Wurzel stehen soll}" schreiben.

Bei den Dollarzeichen hast du immer direkt eine neue Zeile, was aber bei zu vielen Termen nicht so schön ist wie ich finde.

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Sorry aber ich sehe nicht den fehler bei der Ableitung von $$ x/ln(1/x +\sqrt{1+1/x^2 } $$

 bei mir kommt  $$ 1/ \sqrt{1/x^2 +1} * x^2 * ln^2(\sqrt{1/x^2+1}+1/x $$ Ich sehe den Fehler nicht 

(Danke für den Hinweis :))

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Ich habe das gefunden https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=1745011519527485693 , macht das Sinn ? Hier kommt 1 raus

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Ich glaube das $$t=1/x $$ ist aber ich verstehe wie das genau funktioniert da die Gränze verändert wird und warum $$ lim .  x $$ weg ist 

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Hi,

der Grenzwert dort stimmt, aber die Rechnungen sind nicht alle korrekt Beispielsweise darf man aus dem \(t\) nicht einfach ein \(t^2\) machen.

Die Ableitung des Nenners ist nach dem Vereinfachen (nach einem Online-Rechner):

$$\frac{1}{x \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot  (ln(\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x})^2}$$

Hier würde man letztendlich aber 

$$\frac{1}{\frac{1}{x \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot  (ln(\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x})^2}}=x \cdot \sqrt{x^2+1} \cdot  (ln(\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x})^2$$

erhalten und der Grenzwert hiervon ist \(\infty\). Allerdings sehe ich nicht wo da denn einer Fehler sein soll. 1 ist aber als Grenzwert korrekt (siehe Antwort von Gast jc2144).

Weiß nicht wo der Fehler bei der Anwendung von l'Hopital liegt.