Berechnung eines Integrals einer Schmuckform

Question

Die gefärbten Teile der Schmuckform sollen mit Blattgold belegt werden. Die Linien sind Parabeln oder Kreise. 1 cm^{2} Blattgold kostet einschließlich Belegung 7,99 Euro. Wie teuer wird die Blattgoldarbeit?

Legen Sie das Koordinatensystem geeignet fest.

     12 dm (von links nach rechts)

Problem:

Bitte Aufgabe d. Wie kriege ich hieraus bitte eine vernünftige Unterteilung in Integrale hin?

Answer 1

Hallo Gockelinho! :-)

Ansatz: f(x) = ax^2 + b

Die Bedingungen sind, dass der Graph von f(x) durch die Punkte A = (3|0) und B = (0|2) gehen muss.

f(0) = 2
a·0^2 + b = 2 ==> b = 2

f(3) = 0
a·3^2 + b = 0
9a + 2 = 0
a = -2/9

Unsere Funktionsgleichung ist fertig
f(x) = -2/9 x^2 + 2

Das Integral der Funktion f(x) ist F(x) = -2·x^3/27 + 2x  + C. Wegen Symmetrie können wir von -3 bis 3 integrieren und bekommenden Flächeninhalt F₁ = 8. Den Flächeninhalt F₂ bekommen wir, indem wir f(x) von 3 bis 4  integrieren und bekommen F₂ = -20/27. Davon brauchen wir für die Gesamtfläche bloß den Betrag, also den positiven Wert |F₂| = 20/27 zu berücksichtigen.

 

Wir brauchen noch die Kreisfläche, die wir vom Flächeninhalt abziehen müssen.
A = r^2·π = 1^2·π
A = π dm^2

Der gesuchte Flächeninhalt F ist
F = 2·F₁ + 4·|F₂| - A
F = 2·8 + 4·2/27 - π
F = 15,82 dm^2

Grüße

Answer 2

f(x) = 2/3^2·x^2 - 2

g(x) = - 2/3^2·x^2 + 2

d(x) = f(x) - g(x) = 4/9·x^2 - 4

D(x) = 4/27·x^3 - 4·x

2·∫ (0 bis 3) d(x) dx = -16

2·∫ (3 bis 4) d(x) dx = 80/27

A = 16 + 80/27 - pi·1^2 = 15.82 dm²

Zum Verständnis sei es dir angeraten, meine angegebenen Funktionen mal in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Und sich dann auch zu überlegen wie ich auf diese Funktionen gekommen bin.

Answer 3

Die  Figur hat offenbar zwei Symmetrieachsen. Nimm die als x- und y-Achse

Dann hast du als Begrenzung nach oben unten zwei Parabeln f und g 

und es ist  g = - f.

Und f geht durch die Punkte (0;2) (3;0) und (-3;0).

Wegen der Symmetrie zur y-Achse gilt f(x) = ax² + b

also b=2. und    0 = f(3)  = a*9+2 

                           a = -2/9 .

Also f(x) = -2/9 * x² + 2.

Dann ist der mittlere Teil (inclusive Kreis:

I1 = 2 * Integral von -3 bis 3 über f(x) dx. 

und die anderen beiden Stücke je

I2  =  2 * Integral von  3 bis 4 über f(x) dx. 

Also insgesamt 2*I2 + I1 minus Kreis .

Comments

Hallo, habe zufällig die gleiche Aufgabe

Wie genau würde das bei c) gehen ?

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Dann mache mal eine Skizze in der alle Angaben lesbar enthalten sind.

Wenn du die aus uhrheberrechtschutzgründen nicht veröffentlichen magst dann kannst du mir die über whatsapp schicken.

Answer 4

Lege ein Koordinatensystem auf das Schmuckteil. Bei d wähle am geschickesten den Mittelpunkt des Kreises als (0|0) und 1 dm als Einheit. Angenommen,die Begrenzungslinien sind Parabeln und ein Kreis. Ansatz für die obere Parabel f(x)=a(x-3)(x+3) und f(0)=2. Dann ist a=-2/9. Die untere Parabel ist das Spiegelbild der oberen. Der obere Halbkreis hat die Gleichung k(x)=√(x²-1). Achtung: nicht über Nullstellen hinweg integrieren.Berechne nur die Fläche im 1. Quadranten und rechts der Nullstelle x_n=3 im 4.Quadranten und multipliziere das Ergebnis mit 4.