Systeme von Vektoren: Linear abhängig oder unabhängig (R3 als R-Vektorraum)

Question

Aufgabe:

Man betrachte \( \mathbb{R}^{3} \) als \( \mathbb{R} \) -Vektorraum. Überprüfen Sie, ob die folgenden Systeme von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sirld.
$$ \begin{array}{l} {\bullet(1,0,-1),(1,2,1),(0,-3,2)} \\ {\bullet(1,0,-1),(1,2,1),(0,-3,2),(1,1,1)} \\ {\bullet(0,0,0),(1,2,3),(2,3,4)} \\ {\bullet(1,1,1),(2,3,4)} \\ {\bullet(1, x, 0),(x, 1,0),(0, x, 1) \text{ wobei x eine reelle Zahl ist.}} \end{array} $$

Ich brauche nur das erste System, den Rest würde ich dann hinkriegen.

Answer 1

Zu prüfen ist, ob du eine nicht-triviale 0 kombinieren kannst, das heißt, ob bei (z.B. drei) Vektoren x, y, z die folgende Gleichung eine Lösung außer (a,b,c)=0 besitzt:

ax + by + cz = 0

Im ersten Fall z.B:
a*(1,0,-1) + b*(1,2,1) + c*(0,-3,2) = (0,0,0)

Betrachte alle drei Komponenten einzeln:

(1) a + b = 0

(2) 2b - 3c = 0

(3) -a +b +2c = 0

Aus (1) folgt, dass a=-b gilt. Setzt man das in (3) ein, erhält man außerdem b = -c.

Setzt man das nun in (2) ein, erhält man:

-2c - 3c = 0

-5c = 0

c = 0

Also auch a=b=0. Es gibt also nur die triviale Lösung ⇒ die Vektoren sind linear unabhängig.

Answer 2

Anstatt eines Gleichungssystems mit 3 unbekannten, kann man das auch mit 2 Unbekannten lösen.

Ich würde das wie folgt machen

a * (1 | 0 | -1) + b * (1 | 2 | 1) = (0 | -3 | 2)

Da nehme ich das Gleichungssystem der ersten beiden Zeilen und löse das nach a und b auf:

a + b = 0

2b = -3

a = 1,5 und b = -1,5

Das setze ich in die 3. Zeile ein und Prüfe es

1,5*(-1) + (-1,5)*1 = 2

-1,5 - 1,5 = 2

Das stimmt nicht daher ist die Vektoren linear unabhängig.

 

Wenn ihr schon das Kreuzprodukt und das Spatprodukt angesprochen habt gilt auch. Drei Vektoren im R3 sind linear abhängig, wenn ihr Spatprodukt 0 ist.

([1, 0, -1] ⨯ [1, 2, 1])·[0, -3, 2] = 10 => Linear unabhängig

Die 2. vier Vektoren sind dann auf alle Fälle linear abhängig, weil 4 linear unabhängige Vektoren einen 4 Dimensionalen Raum aufspannen.

 Beim nächsten haben wir einen Nullvektor und damit ist der schon linear abhängig.

Die beiden nächsten sind linear unabhängig weil das eine keine Linearkombination des anderen ist.

([1, x, 0] ⨯ [x, 1, 0])·[0, x, 1] = 1 - x^2

Für x = 1 ist es also linear abhängig. Für x <> 1 ist es linear unabhängig

Comments

Hi Mathecoach, erstmal danke!

Aber wie kommt's, dass ein Nullvektor sofort lineare Abhängigkeit hervorruft? Ich habe zu dem Teil ein Gleichungssystem gelöst und als Lösung x₂ = -1/2x₃ oder = -3/2x₃ oder = -4/3x₃ , allerdings passt keins dieser Ergebnisse mehr, wenn ich die Probe mache...

Nach unserer Definition ist ein System Vektoren linear abhängig, wenn ∑ x_iv_i = 0, mit (x₁,x₂, ... x_i) ≠ (0,0,...,0) gilt.

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Der Nullvektor ist immer linear abhängig weil jeder andere Vektor mal Null der Nullvektor ist.