Verneinung:
Es gibt Zahlen m,n ∈ℕ , die beide bei der Teilung durch 4
den Rest 1 lassen, aber das Produkt lässt bei der Teilung durch 4
einen anderen Rest.
Umkehrung: Für alle m,n ∈ℕ gilt: Wenn das Produkt der Zahlen bei der
Teilung durch 4 den Rest 1 lässt dann lassen beide Zahlen bei der
Teilung durch 4 auch nicht den Rest 1.
Kontraposition:
Für alle m,n ∈ℕ gilt:
Wenn das Produkt der Zahlen bei der Teilung durch 4 nicht den Rest 1 lässt
dann lassen nicht beiden Zahlen bei der Teilung durch 4 den Rest 1.
direkter Beweis:
m=4a+1 und n=4b+1
==> m*n =(4a+1)*(4b+1)
= 4a*4b+4a+4b+1
= 4*(4ab+a+b) + 1
Der erste Summand geht durch 4, also bleibt Rest 1.
(3) indirekt: Angenommen das Produkt lässt nicht den Rest 1,
aber beide Zahlen lassen bei der Teilung durch 4 den Rest 1
==> m=4a+1 und n=4b+1
==> m*n =(4a+1)*(4b+1)
= 4a*4b+4a+4b+1
= 4*(4ab+a+b) + 1
Im Widerspruch zu : Das Produkt lässt nicht den Rest 1.
(2) widerlegen: n=3 und m=3 zeigt:
Produkt lässt Rest 1, beide Faktoren aber nicht.
