Berechne lokale Extrema

Question

Da wir noch keine solcher Aufgaben besprochen haben, tu ich mich schwer eine ausführliche Lösung anzufertigen.

Die Aufgabe lautet:

"Bestimmen Sie die lokalen (!) Extrema der Funktion f:(0,∞)->ℝ

i) f(x)=2+x-x^{2 "}

Nun bin ich bei i) wie folgt vorgegangen: 

Erste Ableitung gebildet.

f'(x)=0 gesetzt.

x Wert bekommen. 

x Wert in f(x) eingesetzt.

y Wert bekommen.

f''(x) gebildet.

Rausbekommen, dass zweite Ableitung < 0 und somit ein Hochpunkt bei (x|y) liegt.

Wie komme ich nun auf lokale Extrema? 

Answer 1

Alles, was du richtig durchgeführt hast, dient dazu, lokale Extrema zu finden. Manchmal gibt es auch globale Extrema.  Lokale Hochpunkte sind die höchsten der gesamten Funktion. Lokale Tiefpunkte sind die tiefsten der gesamten Funktion."lokal" heißt "in einer lokalen Umgebung". Dein lokaler Hochpunkt ist zugleich globales Extremum. Das weiß man in diesem Falle, weil die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel gegeben ist.

Answer 2

Dein Hochpunkt ist das lokale und globale Extremum.

Extrema ist der Oberbegriff für HP oder TP.  

Comments

Müsste ich nicht nochmal extra prüfen, dass es sich um einen lokalen Extrempunkt handelt?

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Dein Hochpunkt ist das lokale und globale Extremum.
Extrema ist der Oberbegriff für HP oder TP.  

Diese Begriffsführung ist nicht die übliche, wie ein Blick in ein Mathematikbuch zeigt.

Answer 3

f ( x ) = 2 + x -x^2

Die Funktion ist eine nach unten geöffnete
Parabel. Diese hat einen Hochpunkt.
Eine höheren Funktionswert gibt es nicht.
Dieser Hochpunkt ist damit auch der globale
Hochpunkt.
Geht lim x −> ± ∞ geht der Funktionswert
gegen -∞ ( globales Minimum  ).