Rang einer Matrix zeigen

Question

Wenn man die Matrix konstruiert, sieht man, dass die Zeilen gerade Vielfache voneinander sind und deshalb Rang(A)=1. Aber wie kann man das formell beweisen?

Comments

https://www.mathelounge.de/509260/sollen-fragen-textform-eingegeben-aufgaben-problematisch

Answer 1

Hallo

Die Zeilen der Matrix haben die Form

v1*w1 v1*w2 v1*w3 v1*w4 ... v1*wr
v2*w1 v2*w2 v2*w3 v2*w4 ... v2*wr
...
vr*w1 vr*w2 vr*w3 vr*w4 ... vr*wr

Wir können jede i-te Zeile durch vi teilen 1 <= i <= r 

v1*w1 v1*w2 v1*w3 v1*w4 ... v1*wr |:v1
v2*w1 v2*w2 v2*w3 v2*w4 ... v2*wr |:v2
...
vr*w1 vr*w2 vr*w3 vr*w4 ... vr*wr |:vr

Es bleiben r Zeilen übrig, die gleich sind

w1 w2 w3 w4 ... wr
w1 w2 w3 w4 ... wr
...
w1 w2 w3 w4 ... wr

Nach der Umformung zur Zeilenstufenform bleibt die erste Zeile erhalten, die übrigen werden Nullzeilen.

w1 w2 w3 w4 ... wr
0     0    0   0 ...   0
...
0     0    0   0 ...   0 

Grüße