Hi,
ich zeige dir den Beweis für eine (3 x 3)-Matrix.
Seien a, b, c, λ, μ ∈ ℝ und A folgende Matrix:
$$ \begin{pmatrix} a & \lambda a & \mu a \\ b & \lambda b & \mu b \\ c & \lambda c & \mu c \end{pmatrix} $$
Zunächst zeigen wir "<=":
Du kannst den Gauß anwenden und von der 2. Spalte das λ-fache und von der 3. Spalten das μ-fache der ersten abziehen. Nun erhältst du die folgende Matrix:
$$ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Nun noch transponieren:
$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Somit ist der Rang 1.
Nun zur anderen Richtung ("=>"):
Nehmen wir einfach mal an, dass eine Spalte kein Vielfaches einer anderen Spalte ist, obwohl der Rang der Matrix 1 ist. Betrachten wir einfach mal folgende Matrix, wobei x kein Vielfaches von c ist:
$$ \begin{pmatrix} a & \lambda a & \mu a \\ b & \lambda b & \mu b \\ c & \lambda c & x \end{pmatrix} $$
Du kannst nun wieder Gauß anwenden und von der 2. Spalte das λ-fache und von der 3. Spalten das μ-fache der ersten abziehen. Nun erhältst du die folgende Matrix
$$ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ c & 0 & x- \mu c \end{pmatrix} $$
Nun transponieren wir diese wieder und erhalten:
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x- \mu c
\end{pmatrix}
Somit ist der Rang offensichtlich 2. Der Rang war aber nach unserer Voraussetzung auch 1. Also ist 1=2? Wohl eher nicht. Somit haben wir einen Widerspruch, weswegen es keine Spalte in einer Matrix geben kann, die kein Vielfaches einer anderen ist, wenn der Rang der Matrix 1 ist. Und welcher Eintrag unser x nun in der Matrix ist, spielt letztendlich ja keine Rolle. Der Rang der Matrix mit unserem x wird immer Rang 2 haben.
Man hätte die Matrizen auch in die Zeilenstufenform bringen können, um den Rang abzulesen. Aber man konnte den Rang ja auch so super ablesen, weswegen ich das weggelassen habe.
Nun musst du den Beweis einfach noch allgemein formulieren und du hast es.
Liebe Grüße, Bruce
