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Es sei (G,*) eine Gruppe. Zeigen sie, dass die komplexen Zahlen {1,-1,i,-i} ⊂ ℂ* eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe (ℂ*,•) bilden.


Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Die Definition einer Untergruppe ist mir bekannt. Allerdings habe ich Probleme damit die konkret auf das Beispiel anzuwenden. 

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Was soll der Satz "Es sei (G,*) eine Gruppe"? In der Aufgabe gibt es doch gar kein G und kein *. Jedenfalls ist H = {1,-1,i,-i} endlich. Da kannst Du alles direkt nachpruefen. Drei Sachen sind es:

1) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H,

2) 1 ∈ H,

3) x ∈ H ⇒ x-1 ∈ H.

Assoziativitaet ist nicht zu pruefen. Warum?

Also 

1) für 1,i ∈ H ⇒ 1i=i ∈ H   ✓

2) H ist nicht leer, da 1 ∈ H enthalten ist   ✓

3) für 1 ∈ H ⇒ 1^{-1} = 1 ∈ H    ✓


so richtig? und reicht das? Oder muss ich jede mögliche Kombination zeigen, also z.b. auch -1i = -i ∈ H bei 1) ? Oder z.b. auch i^{-1} = -i ∈ H bei 3) ?


Assoziativität muss nicht gezeigt werden, weil es ja gar nicht vorkommt richtig? Es sind ja ausschließlich Produkte mit nur 2 Faktoren. Also muss Assoziativität gar nicht angewendet werden.

Selbstverstaendlich beziehen sich 1) und 3) auf alle Elemente von H × H bzw. H. Bei 2) ist 1 ∈ H zu verifizieren und nicht H ≠ ∅. Und selbstverstaendlich soll die Multiplikation auf H assoziativ sein. Da sagst Du jetzt besser doch was dazu.

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Hallo Sven, die Aufgabe steht auf „offen“.  Ist sie mit Hilfe der Kommentare jetzt vollständig gelöst?  Wenn nicht, gib mir einfach kurz Bescheid.

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