Es sei (G,*) eine Gruppe. Zeige, dass {1,-1,i,-i} ⊂ ℂ* Untergruppe von (ℂ*,•) bildet.

Question

Es sei (G,*) eine Gruppe. Zeigen sie, dass die komplexen Zahlen {1,-1,i,-i} ⊂ ℂ* eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe (ℂ*,•) bilden.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Die Definition einer Untergruppe ist mir bekannt. Allerdings habe ich Probleme damit die konkret auf das Beispiel anzuwenden. 

Comments

Was soll der Satz "Es sei (G,*) eine Gruppe"? In der Aufgabe gibt es doch gar kein G und kein *. Jedenfalls ist H = {1,-1,i,-i} endlich. Da kannst Du alles direkt nachpruefen. Drei Sachen sind es:

1) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H,

2) 1 ∈ H,

3) x ∈ H ⇒ x^-1 ∈ H.

Assoziativitaet ist nicht zu pruefen. Warum?

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Also 

1) für 1,i ∈ H ⇒ 1i=i ∈ H   ✓

2) H ist nicht leer, da 1 ∈ H enthalten ist   ✓

3) für 1 ∈ H ⇒ 1^{-1} = 1 ∈ H    ✓

so richtig? und reicht das? Oder muss ich jede mögliche Kombination zeigen, also z.b. auch -1i = -i ∈ H bei 1) ? Oder z.b. auch i^{-1} = -i ∈ H bei 3) ?

Assoziativität muss nicht gezeigt werden, weil es ja gar nicht vorkommt richtig? Es sind ja ausschließlich Produkte mit nur 2 Faktoren. Also muss Assoziativität gar nicht angewendet werden.

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Selbstverstaendlich beziehen sich 1) und 3) auf alle Elemente von H × H bzw. H. Bei 2) ist 1 ∈ H zu verifizieren und nicht H ≠ ∅. Und selbstverstaendlich soll die Multiplikation auf H assoziativ sein. Da sagst Du jetzt besser doch was dazu.

Answer 1

Hallo Sven, die Aufgabe steht auf „offen“.  Ist sie mit Hilfe der Kommentare jetzt vollständig gelöst?  Wenn nicht, gib mir einfach kurz Bescheid.