Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A*x=0 im Z5

Question

Ich habe folgende Matrix A ∈ Mat (3x3, ℤ₅ )gegeben

(1 1 1

 0 2 3

 0 3 2 )

und soll die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A*x=0 bestimmen.

Das habe ich nun auch versucht, indem ich die Matrix in die Zeilenstufenform bringe. Ich erhalte dann

(1 1 1

 0 2 3

 0 0 0 )

Nun habe ich x3=λ gewählt und erhalten dann die folgenden Lösungen

(2λ, -3/2λ, 1/2λ)^T = (4λ, -3λ, λ)^T

Kann mir jemand sagen ob meine Ergebnisse richig sind? Also die Zahlen sind immer ∈ℤ₅

Answer 1

.. mache die Probe (z.B. mit \(\lambda=1\)), dann siehst Du, dass das Ergebnis falsch ist. Tipp: Überlege, was eine Division durch 2 in \(Z_5\) ist.

Comments

Ich würde die zweite Zeile der Matrix

0 2 3

durch 2 teilen, dann ergibt
sich die neue zweite Zeile

0 1 0,

die von der ersten subtrahiert werden kann.
Damit wäre das Gauß-Verfahren bis zum Schluss
durchgeführt.

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Wenn man 3 durch 2 teilt, so kommt nicht 0 heraus - auch nicht in \(Z_5\). Das Ergebnis ist 4, da 

$$(4 \cdot 2)_{Z_5}=3$$

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Stimmt, da habe ich mich verrechnet
und wir haben 0 1 4.
Dann kann subtrahiert werden.

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Ah stimmt du hast recht.

Aber bis zu meinem Gauß stimmt dann noch alles oder?

da erhalten ich x₁+x₂+x₃= 0 und 2x₂+3x₃=0 → 2x₂=-3x₃

Dann wähle ich x₃=λ und somit x₂=-3/2 λ =4λ

Das kann ich dann in x₁+x₂+x₃= 0  einsetzen und erhalte so die anderen Lösungen oder?

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Als Lösung bekomme ich dann (3λ, -4λ,λ)

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im Prinzip richtig ... und in \(Z_5\) ist das \((3;1;1)^T\cdot \lambda\)

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Und wie kommt man darauf?

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Und wie kommt man darauf?

Auf was? Auf das \(x_2=1 \cdot \lambda\)? Die zweite Gleichung hatten wir bereits reduziert auf:

$$0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2+ 4 \cdot x_3=0 \quad x_i \in Z_5$$

Du hast \(x_3=\lambda\) gesetzt. Dann ist

$$x_2 + 4 \cdot \lambda \equiv 0 \mod 5 \space \left| + 1 \cdot \lambda\right.$$

$$x_2 \equiv 1 \cdot \lambda \mod 5$$ .. wir sind in \(Z_5\). Dort gibt es nur die Elemente \(\{ 0; 1; 2; 3; 4\}\)