Für welche c ∈ ℝ ist Uc = {(x1, . . . , xn) ∈ ℝ^n | x1 + . . . + xn = c} ein Untervektorraum des ℝ^n?

Question

Sei n ∈ ℕ.

(a) Für welche c ∈ ℝ ist U_c = {(x₁, . . . , x_n) ∈ ℝⁿ | x₁ + . . . + x_n = c} ein Untervektorraum des ℝⁿ ? Begründen Sie Ihre Antwort.

(b) Zeigen Sie: W₁ = {(x₁, . . . , x_n) ∈ ℝⁿ | ∀i ∈ {1, . . . , n}: x_n−i = x_i} und W₂ = {(x₁, . . . , x_n) ∈ ℝⁿ|  ∀i ∈ {1, . . . , n}: x_n−i = −x_i} sind Untervektorräume des ℝⁿ.

(c) Beweisen Sie, dass für W₁ und W₂ wie in (b) gilt: ℝⁿ = W₁ ⊕ W₂.

Answer 1

Hallo certi, die Untervektorraum-Kriterien sind folgende, siehe Wikipedia: 
(V, +, *) ist ein R-Vektorraum.  U ⊆ V.  Dann ist U ein Untervektorraum von V, wenn
für alle u, v ∈ U gilt:  u + v ∈ U
für alle a ∈ R, u ∈ U gilt:  a * u ∈ U

Bitte checke das mal und melde dich, wenn du noch Fragen hast.