Funktion auf Maximum und Minimum untersuchen. f(x) = x^2/(x+1)

Question

Funktion auf Maximum und Minimum untersuchen.

Answer 1

f₁(x) = x² / (x+1)       D_f =  ℝ \ { -1 }

Als rationale Funktion ist f₁ in ihrem Definitionsbereich stetig.

Insbesondere ist also

  f: [ -3/4 ; 1 ]  → ℝ ; x ↦  x² / (x+1)   , eine stetige Funktion

Da f in einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, nimmt sie dort nach dem "Satz vom Maximum und Minimum" sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum an.

f '(x) = x·(x + 2) / (x + 1)^2   

hat genau eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel von - → + )  bei  x = 0

f ist also in [ -3/4 ; 0 ]  streng monoton fallend  und in [ 0 ; 1 ]  streng monoton steigend, hat also den Tiefpunkt T(0|0) als einzigen Extrempunkt im offenen Intervall  ] -3/4 ; 1 [ 

f(0) = 0

f(-3/4) = 9/4

f(1) = 1/2

Absolutes Minimum von f = 0  bei x=0

Absolutes Maximum von f = 9/4  bei x=1     (sogenanntes Randmaximum) 

Gruß Wolfgang

Comments

nein nicht f : [-1/4 ,1]

f : [-3/4 ,1] ist richtig. 

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Stimmt, danke für den Hinweis. Habe das in der Antwort  korrigiert.

Answer 2

1. Ableitung bilden

y' =  (x^2+2x) /(x^2 +2x+19

y '= 0 ---->

x^2+2x = 0

x(x+2)=0 Satz vom Nullprodukt

x₁= 0

x₂= -2

-> P1= (0/0) Minimum

-->P2= (-2 /-4) Maximum

Nachweis MiN /MAX durch 2. Ableitung machen !

--------->Lösung : P1 hat ein Minimum in dem angegebenen Intervall.

Answer 3

f '(x)=x(x+2)/(x+1)²; f ''(x)=2/(x+1)³ f '(x)=0 für x=-2 (außerhalb von [-3/4;1]) und x=0. f ''(0)=2. Im fraglichen Bereich gibt es nur den Tiefpunkt (0|0).

Answer 4

Erste Ableitung:

f'(x)=(x*(x+2)/(x+1)^2

Nullstellen:

(x+1)^2=0        √

x+1=0              -1

x=-1

x^2+2x=0

x^2+2x+1^2=1^2+0

x^2+2x=0

-----> PQ-Formel

x₁=-2

x₂=0

In die Stammfunktion einsetzen:

f(x)=x^2/(x+1)

f(-2)=(-2)^2/(-2+1)=4

f(0)=0

Minimum:

(0/0)

Maximum:

(-2/-4)

Vielleicht fällt dir beim Minimum etwas auf? ;)

Ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte

Anton