Der Kanal soll an seiner steilsten Stelle die Steigung 10 % haben. Bestimmen Sie k. Querschnitt eines Kanals.

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt eines Kanals soll durch eine Funktion \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=1-e^{-k x^{2}} \) beschrieben werden (eine Längeneinheit entspricht \( 10 \mathrm{~m} \) ). In Fig. 1 ist der Querschnitt für \( k=1 \) abgebildet.

a) Der Kanal soll an seiner steilsten Stelle die Steigung \( 10 \% \) haben. Bestimmen Sie \( k \).

b) Eine Person mit Augenhöhe 1,7 m geht auf der Geraden \( y=1 \) von links auf den Kanal zu. Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( k \) den Punkt auf dieser Geraden, an dem diese Person alle Punkte des leeren Kanals einsehen kann.

Answer 1

f(x) = 1 - e^{- k·x^2}

f'(x) = 2·k·x·e^{- k·x^2}

f''(x) = 2·k·e^{- k·x^2}·(1 - 2·k·x^2) = 0 --> x = ± √(1/(2·k))

f'(√(1/(2·k))) = √(2·k/e) = 0.1 --> k = e/200 = 0.01359

Comments

Ich habe die Wendestelle nun in die 1. Ableitung eingesetzt => 

f'(√(1/(2·k))

Wie komme ich jetzt zum nächsten Schritt, also

√(2·k/e)

Wie ist dort der Rechenweg?

Ich würde mich über eine Antwort freuen. :)

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Probier es doch mal selber und frag nach, wenn du es nicht selber schaffst und sag dann auch bitte, wo du nicht weiter weist.

Alternativ gäbe es die Möglichkeit sich von einer elektronischen Rechenhilfe unterstützen zu lassen.

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\( \begin{aligned} f^{\prime}\left(\sqrt{\frac{1}{2 k}}\right) &=2 \cdot k \cdot \sqrt{\frac{1}{2 k}} \cdot e^{\left.-k \cdot \sqrt{\frac{1}{2 k}}\right)^{2}} \\ &=2 k \cdot\left(\frac{1}{2 k}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot e^{-k \cdot \frac{1}{2 k}} \\ &=2 k \cdot(2 k)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \\ &=2 k^{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \\ &=\frac{2 k^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}=\left(\frac{2 k}{e}\right)^{\frac{1}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{2 k}{e}} \end{aligned} \)