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Einer Kugel mit dem Radius R=6 cm ist ein gerader Kreiszylinder von größtem Volumen einzuschreiben. (Lös:r=4.9cm, h=6.93cm)

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V(r, h)  =  π* r^2* h.

Schon klar, aber ich weiß nicht wie ich weitermachen soll und wie man auf das Ergebnis kommt

extremwertaufgabe2.gif

Dazu legen wir eine Schnittebene durch Kugel und Zylinder, die normal auf die Deck- und Bodenfläche des Zylinder steht und durch den Kugelmittelpunkt geht. In ihr kann der Zusammengang zwischen r und h einfacher abgelesen werden als in einer Skizze der räumlichen Situation . Ein rechtwinkeliges Dreieck ist hervorgehoben: Über den Pythagoräischen Lehrsatz offenbart es die gesuchte Beziehung:

r^2+(h/2)^2=R^2 (Radius des Kreises (R))

Danke aber ich weiß nicht wie man auf 4.9 und 6.93 kommt :/. Wie soll das gehen, wenn ich nur R=6cm habe? 

1 Antwort

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Hier eine Skizze

gm-191.jpg

Kugel : 6 cm Radius entspricht Durchmeser = 12 cm
h ist die Höhe
Unten :  d ist der Durchmesser des Zylinders.

12 ^2 = h^2 + d^2
d^2 = 12 ^2 - h^2

V ( Zylinder ) = d^2 / 4 * π * h
V ( Zylinder ) = ( 12^2 - h^2 ) / 4 * π * h
V ( Zylinder ) = ( 12^2 * h -  h^3 ) / 4 * π
V ´( h ) = 1/ ( 4 * π ) * [ 12^2 - 3 * h^2 ]
Extremwert
12^2 - 3 * h^2 = 0
h = 6.93 cm

d^2 = 12 ^2 - 6.93 ^2
d = 9,8 cm
r = 4.9 cm

Avatar von 123 k 🚀

Ahh omg ich habs verstanden. Dankeeee 

Dazu ist das Forum da.
mfg Georg

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