Wie viele Einheiten der beiden Güter fragt sie nach?

Question

Die Präferenzen einer Konsumentin für die Güter x1 und x2 lassen sich durch folgende Nutzefunktion ausdrücken: u(x1,x2)=0,5logx2. Gut 1 kostet p1=2, Gut 2 kostet p2=5. Unsere Konsumentin verfügt über ein Budget von m=20.

Richtige Lösung: x1=5, x2=2

Wie komme ich darauf?

Comments

x1 kommt in der Nutzefunktion gar nicht vor ???

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Sry, war ein Schreibfehler. Es müsste heißen: u(x1,x2)=0,5 log x1 + 0,5 log x2

Die Frage: Wie viele Einheiten der beiden Güter fragt sie nach?

Answer 1

Falsche Funktion. Eventuell

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+0.5log(10,xy)+with+2x%2B5y%3D20

Comments

Okay, aber auf Wolframalpha sieht man auch nur das Endergebnis, aber nicht, wie du eigentlich darauf gekommen bist.

Könntest du mir bitte den Rechenweg zeigen? Danke.

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Nebenbedingung

2x + 5y = 20 --> y = 4 - 0.4·x

Hauptbedingung

U = 0.5·LOG(x) + 0.5·LOG(y)

U = 0.5·(LOG(x) + LOG(y))

U = 0.5·LOG(x·y)

U = 0.5·LOG(x·(4 - 0.4·x))

U = 0.5·LOG(4·x - 0.4·x^2)

U = 0.5/LN(10)·LN(4·x - 0.4·x^2) 

U' = 0.5/LN(10)·(4 - 0.8·x)/(4·x - 0.4·x^2) = 0

4 - 0.8·x = 0 --> x = 5

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Wie kommst du auf diesen Schritt?

U = 0.5/LN(10)·LN(4·x - 0.4·x2)  bzw. ab diesen Schritt auf alle restlichen?

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Man kann den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis durch den LN ausdrücken. Dabei gilt:

LOG_10(x) = LN(x) / LN(10)

LOG_a(x) = LN(x) / LN(a)

Das mache ich hier weil ich die Ableitung von LN(x) im Gegensatz zur Ableitung von LOG_a(x) kenne.

Sobald ein Maximum oder Minimum gefragt ist kann man Funktion was zu minimieren/maximieren ist einfach Null setzen.

Genau das habe ich oben gemacht. U' ist die Ableitung von U.