Wie viele Einheiten der beiden Produkte fragt die Konsumentin jeweils nach?

Question

Betrachten Sie die Nutzenfunktion

u(x_(1),x_(2)) = √(x_(1))+x_(2).

Wenn die Preise p_(1) = 1 und p_(2) = 2 sind und die Konsumentin über ein Budget von m = 10 verfügt, wie viele Einheiten der beiden Produkte fragt sie jeweils nach?

Lösung: x_(1) = 1, x_(2) = 4.5

Wie kommt man darauf?

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+√x%2By+with+1x%2B2y%3D10

max{sqrt(x) + y|x + 2 y = 10} = 11/2 at (x, y) = (1, 9/2)

Optimieren unter Nebenbedingung. Wo ist genau das Problem?

Comments

Ich weiß nicht genau, was optimieren unter Nebenbedingungen heißt bzw. ich kann die Lagrange-Methode nicht anweden und ohne Hilfsmittel wie Wolframalpha ist es ziemlich schwierig.

Könntest du mir bitte jeden einzelnen Rechenschritt zeigen? Wäre dir sehr dankbar, da ich bereits so viele solche Aufgaben angeschaut habe, allerdings habe ich leider noch nie eine lösen können, obwohl es jeden Mal das selbe Schemata ist.

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Dann solltest du lieber sagen wo du beim Schema die Schwierigkeiten hast. Das obige Problem muss auch nicht mit Lagrange gelöst werden.

Leider wird den Studenten immer nicht vermittelt wann Lagrange zweckmäßig ist und wann nicht.

Bei Lagrange stellt man die Lagrangefunktion auf. Bildet alle partiellen Ableitungen und setzt diese Null und löst dann das entstehende Gleichungssystem. Das ist wie gesagt wirklich immer das gleiche.

Wie weit kommst du denn selber ?

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Okay, das sollte richtig sein:

L(x, y, λ) = √(x1)+x2 - λ(1x + 2y - 10)

Mit dem Ableiten wird es dann aber schon schwieriger, da eine Wurzel mit dabei ist.

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Schreibe die Wurzel als Potenz

√x = x^{1/2}

Verwende überall x1 und x2 oder x und y aber nicht gemischt

L(x, y, k) = x^0.5 + y - k·(x + 2·y - 10)

L'x = 1/(2·√x) - k = 0

L'y = 1 - 2·k = 0

L'k = -x - 2·y + 10 = 0

Zweite Gleichung liefert das k, erste dann das x und dritte dann das y.

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Ok, soweit verstehe ich es. Aber kann ich auch schreiben:

L'x = 0,5x^-0,5 - k = 0

Deine Schreibweise verwirrt mich etwas. Wie kommst du darauf?

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Kannst du auch schreiben. Du solltest aber das umschreiben trainieren.

Z.B.:

x^{-n} = 1/(x^n)

x^{1/m} = ^m√x

x^{-n/m} = 1/(^m√(x^n))

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Ok, ja ich versuche es. Wie kommst du dann plötzlich auf 2? Ich nehme an 1/0.5, aber warum?

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Es galt schon immer:

0.5 = 1/2

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Ja, schon klar. Aber wenn ich 0,5x^-0,5 umschreibe dann heißt es, 0,5*(1/Wurzel(x^0,5) -> 0,5/Wurzel(x^0,5) oder nicht?

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Nein.

x^0.5 = x^{1/2} = ²√(x)

x^{-0.5} = x^{-1/2} = 1/(x^{1/2}) = 1/(²√(x))

Wenn man die 2. Wurzel zieht dann kann man die 2 auch weglassen

²√x = √x

Answer 2

> Nutzenfunktion u(x1,x2) = Wurzel(x1)+x2.

Das Maximum dieser Funktion unter einer Nebenbeingung muss bestimmt werden.

> Wenn die Preise p1 = 1 und p2 = 2 sind ...

Sie bezahlt also 1·x1 + 2·x2 um den Nutzen u(x1,x2) zu erlangen.

> ... und die Konsumentin über ein Budget von m = 10 verfügt, ...

Die Nebenbedingung lautet also 1·x1 + 2·x2 ≤ 10.

Aufgrund der Monotonie von u kann die Nebenbedingung zu

    1·x1 + 2·x2 = 10

vereinfacht werden.

Verwende Lagrange-Multiplikatoren um das Maximum zu finden.

Comments

Das Problem ist: Ich weiß leider nicht, wie die "Lagrange-Methode" funktioniert.