Die Kurvendiskussion anhand einer Funktionschar ausführen

Question

Gegeben sei die Funktionenschar f_t(x) =-x³+4t³/tx²,t größer 0

a) Kurvendiskussion( Asymptote, Definitionslücken, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte). Skizzieren Sie die Graphen von f1, f2 und f3 für -8≤x≤8.

b) Welche Funktion der Schar f_t hat bei x=-1 ein Minimum?

c) Wie lautet die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar?

Danke für Hilfe

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Vom Duplikat:

Titel: Die Kurvendiskussion bei einer Funktion

Stichworte: funktionenschar,graph

Gegeben sei die Funktionenschar f_t(x) =-x³+4t³/tx²,t größer 0

a) Kurvendiskussion( Asymptote, Definitionslücken, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte). Skizzieren Sie die Graphen von f1, f2 und f3 für -8≤x≤8.

b) Welche Funktion der Schar f_t hat bei x=-1 ein Minimum?

c) Wie lautet die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar?

Danke für Hilfe

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Soll das vielleicht f_t(x) =(-x³+4t³)/(tx²) heißen?

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Soll das vielleicht f_t(x) =(-x³+4t³)/(tx²) heißen?

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-x³+4t³ geteilt durch tx²

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Zähler und Nenner müssten dann geklammert werden.Heute abend gehe ich da aber nicht mehr dran.

Answer 1

Also so:  ft(x) =(-x^3+4t^3)  /  ( tx^2)  ,t größer 0

oder auch  (-1/t) * x + 4t^2 / x^2 

da siehst du : Asymptote für x gegen ±∞  ist  g(x) = (-1/t) * x   (Gerade durch (0;0)).

Definitionslücke bei x=0 , dort senkrechte Asympt.

f ' (x) = -1/t - 8t^2 / x^3   gibt 0 für x= -2t 

f ' ' (x) = 24t^2 / x^4  also f ' ' ( -2t) > 0 ==>  Min bei x= -2t 

also für t=0,5 Min. bei  x=-1

Tiefpunkte ( -2t / 3 ) alle auf der Geraden mit der Gleichung y=3.