offenes Integral funktionschar

Question

Aufgabe:

f_a von x = ln(x)-a/ax

a > 0

1. Zeigen Sie, dass die Graphen der Schar genau einen gemeinsamen Punkt besitzen und bestimmen sie diesen.

2. Untersuchen Sie, ob das nach rechts offene Flächenstück, das der Graph zu fa mit der x-Achse einschließt, einen endlichen Flächeninhalt besitzt

Problem/Ansatz:

1. Hier komme ich am Ende auf a = b und nicht auf einen gemeinsamen Punkt.

2.  Hier fällt mir keine Lösungenweise ein.

Comments

Meinst du \(f_a(x)=\dfrac{\ln(x)-a}{ax}\) ? Dann ist \(f_a(1)=-1\).

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Graphen der Schar genau einen gemeinsamen Punkt besitzen

Ein ganz einfacher Trick: Nimm dir lediglich zwei Funktionen der Schar heraus (z.B. für a=1 und a=2).

Berechne deren (hoffentlich einzigen) gemeinsamen Punkt.

Weise dann durch Einsetzen in die allgemeine Schargleichung nach, dass dies sogar der gemeinsame Punkt ALLER Funktionen der Schar ist.

PS: Im Funktionsterm hast du bestimmt Klammern vergessen. Sicher soll es (ln(x)-a)/(ax) sein.

Answer 2

1. Zeigen Sie, dass die Graphen der Schar genau einen gemeinsamen Punkt besitzen und bestimmen sie diesen.

(LN(x) - a)/(a·x) = (LN(x) - b)/(b·x) → x = 1

(LN(1) - a)/(a·1) = -1 → P(1 | -1)

2. Untersuchen Sie, ob das nach rechts offene Flächenstück, das der Graph zu fa mit der x-Achse einschließt, einen endlichen Flächeninhalt besitzt

f(x) = (LN(x) - a)/(a·x) = 0 --> x = e^a

F(x) = LN(x)·(LN(x) - 2·a)/(2·a)

F(x) wächst über alle Grenzen. Damit ist die Fläche nicht beschränkt.

Comments

die 1 habe ich verstanden die zwei aber noch nicht. Hast du das mit einem Integral gelöst oder wie bist du vorgegangen.

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Ich habe mir nur die Stammfunktion angeschaut.