Vollständige Induktion - !!

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n∈ℕ₀ und x∈ℝ \ {1} gilt:

$$\sum\nolimits_{i=0}^n x^I$$= (xⁿ⁺¹-1)/x-1

habe soweit den Induktionsanfang mit n=0 gemacht

$$\sum\nolimits_{i=0}^0 x^0$$ = (1⁰⁺¹-1)/1-1 = 1

somit ist die Induktionsvoraussetzung

$$\sum\nolimits_{i=0}^n x^I$$= (xⁿ⁺¹-1)/x-1

und der Induktionsschritt n wird zu n+1, dabei komme ich auf folgendes

((xⁿ⁺¹-1)/x-1)+(n+1) = ((xⁿ⁺¹-1)/x-1)+(((n+1)(x-1))/x-1) = ((xⁿ⁺¹-1)+(n+1)(x-1)/(x-1)

aber wie gehts ab hier weiter??

und muss ich genau oben bei  x∈ℝ \ {1} etwas beachten??

Vielen Dank für die Unterstützung

Answer 1

hier steht z.B der Beweis:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Summenformel#Beweis_mit_vollst%C3%A4ndiger_Induktion

Vergleich das mal mit deinen Rechnungen ;)

Answer 2

habe soweit den Induktionsanfang mit n=0 gemacht.

Wenn groß I= klein i bedeuten soll, dann wäre der Induktionsanfang x⁰=(x-1)/(x-1). Du schreibst aber (1⁰+1-1)/1-1 = 1. Wo ist denn das x geblieben und wo sind die Klammern im Nenner?

Comments

groß I sollte tatsächlich klein i bedeuten...ups tut mir leid.

kann ich meine Frage nochmal nachbearbeiten? dann hätte ich nochmal Klammern hinzugefügt

naja auf jeden Fall soll das ganze wie folgt aussehen:

$$\sum_{i=0}^{n}{x^i}$$= (xn+1-1)/(x-1)

habe soweit den Induktionsanfang mit n=0 gemacht

x⁰=(x-1)/(x-1)

somit ist die Induktionsvoraussetzung

$$\sum_{i=0}^{n}{x^i}$$= (xn+1-1)/(x-1)

und der Induktionsschritt n wird zu n+1, dabei komme ich auf folgendes

((xⁿ⁺¹-1)/(x-1))+(n+1) = ((xⁿ⁺¹-1)/(x-1))+(((n+1)(x-1))/(x-1)) = ((xⁿ⁺¹-1)+(n+1)(x-1)/(x-1)


aber wie gehts ab hier weiter??

und muss ich oben bei  x∈ℝ \ {1} etwas beachten??

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Einige Fehler sind korrigiert, andere sind neu: einiges steht nicht im Exponenten, wie es sollte.

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neuer Kommentar, neuer Versuch, neue Idee

$$\sum_{i=0}^{n}{x^i}$$

= (xⁿ⁺¹-1)/(x-1)

IA: n=0

$$\sum_{i=0}^{0}{x^i}$$

= (x⁰⁺¹-1)/(x-1)=(x-1)/(x-1)

IV: 

$$\sum_{i=0}^{n}{x^i}$$
= (xⁿ⁺¹-1)/(x-1)

IS:

$$\sum_{i=0}^{n}{x^i}$$ (über dem Summenzeichen soll n+1 stehen, LaTeX nimmt mir das aber nicht ab) nach kurzer Überlegung hab ich das Gefühl bekommen, dass mein Induktionsschritt falsch war, folgendes ist die neue Version:

(xⁿ⁺¹-1)/(x-1)+(xⁿ⁺¹)

das erweitert man dann mit (x-1) um "+(xⁿ⁺¹)" auch über den Bruchstrich zu bringen

((xⁿ⁺¹-1)+(xⁿ⁺¹)(x-1))/(x-1)

umgeformt

((xⁿ⁺¹-1)+(x²ⁿ⁺¹-xⁿ⁺¹))/(x-1)

weiter umgeformt lande ich dann bei

(x²ⁿ⁺¹-1)/(x-1)

stimmt das so? und bin ich hier schon fertig?