Wie müssen a und b gewählt werden? Tangente.

Question

Aufgabenstellung:

Seien a , b > 0 und

\( f(x)=\frac{a}{1+b x^{2}} \)

Wie müssen a und b gewählt werden, damit die Tangente an f im Punkt \( \mathrm{P}=\langle 2, \mathrm{f}(2)> \) eine Nullstelle bei \( \mathrm{x}=4 \) hat ? Sind a und b eindeutig bestimmt?

Answer 1

Die Gleichung der Tangenten im Punkt ( 2 | f ( 2 ) ) lautet:

t ( x ) = f ' ( 2 ) * x + n

wobei

f ' ( x ) =  - a * ( 2 b x ) / ( 1 + b x ² ) ² = - 2 a b x / ( 1 + b x ² ) ²

Mit x = 2 ergibt sich:

f ' ( 2 ) = - 4 a b / ( 1 + 4 b ) ²

Die Geradengleichung lautet also:

t ( x )  = - 4 a b / ( 1 + 4 b ) ² * x + n

 

Für x = 4 soll diese Gerade eine Nullstelle haben, es soll also gelten:

0 = - 4 a b / ( 1 + 4 b ) ² * 4 + n

<=> n =  4 a b / ( 1 + 4 b ) ²  * 4 = 16 a b / ( 1 + 4 b ) ²

sodass die vollständige Geradengleichung also lautet:

t ( x )  =  - ( 4 a b ) / ( 1 + 4 b ) ²  * x + 16 a b / ( 1 + 4 b ) ²

Diese Gerade soll Tangente an den Graphen von f an der Stelle ( 2 | f ( 2 ) ) = ( 2 | a / ( 1 + 4 b ) ) sein. Es muss also gelten:

a / ( 1 + 4 b ) =  - ( 4 a b ) / ( 1 + 4 b ) ² * 2 + 16 a b / ( 1 + 4 b ) ²

Löst man nach a auf, erhält man (Multiplikation mit (1 + 4 b) ² ):

a * ( 1 + 4 b ) = - ( 4 a b )  * 2 + 16 ab = 8 a b

<=> 1 + 4 b = 8 b

<=> 1 = 4 b  

<=> b = 1 / 4

Da sich der Faktor a herausgekürzt hat, ist b unabhängig von a. Während also die Konstante b eindeutig bestimmt ist, ist die Konstante a > 0 beliebig wählbar.

 

Die Funktion f ( x ) lautet also:

f ( x ) = a / ( 1 + ( 1 / 4 ) x ² )

mit einem beliebigen a > 0

Die Tangentengleichung ist dann:

t ( x ) = - ( 4 a b ) / ( 1 + 4 b ) ²  * x + 16 a b / ( 1 + 4 b ) ²

[mit b = 1 / 4 :]

=  -  ( a / 4 ) * x +  a 

 

Hier ein Schaubild des Graphen von f für a = 5 und der Geraden y . Man sieht, dass y an der Stelle 2 eine Tangente an f ist und dass y bei x = 4 ein Nullstelle hat.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+5%2F%281%2B0.25x%C2%B2%29+%2C+-%285%2F4%29*x%2B5