Gleichung 3.Grades aufstellen mit Tangente

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der stelle x= 1. Im Punkt (3/2) besitzt er eine Tangente, die parallel zur Gleichung y=-9/4x verläuft

Problem/Ansatz:

Jetzt muss ich eine Funktionsgleichung aufstellen. Und ich komm einfach nicht weiter.

Answer 1

Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d

        f '(x)=3ax²+2bx+c

P(1|0) bedeutet:         (1) 0=a+b+c+d

f '(1)=0  bedeutet:       (2) 0=3a+2b+c

P(3|2)  bedeutet:        (3) 2=27a+9b+3c+d

f '(3)= - 9/4  bedeutet: (4) - 9/4=27a+6b+c

Löse das System (1),/2),(3),(4).

Comments

Ich danke dir! Vielen , vielen Dank

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Könntest du das bitte auch mit dem Gaußverfahren zeigen? Ich wäre dir sehr dankbar!

Answer 2

Hallo,

das ist eine klassische Steckbriefaufgabe:

Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades ...

heißt die Funktion und ihre Ableitung hat die Form $$f(x)=ax^3+bx+cx+d \\ f'(x)= 3ax^2+2bx + c$$

... berührt die x-Achse an der stelle x= 1

heißt: $$f(1)= 0, \quad f'(x)= 0$$

Im Punkt (3/2) ..

Da muss die Funktion durch$$f(3)=2$$

... besitzt er eine Tangente, die parallel zur Gleichung y=-9/4x verläuft

heißt$$f'(3)= - \frac 94$$das sind vier Bedingungen, die man in die Funktion bzw. ihre Ableitung einsetzt. Dann bekommt man ein lineares Gleichungssystem mit der Lösung$$f(x)=\frac 1{16}(-17x^3+93x^2-135x+59)$$

~plot~ {1|0};{3|2};-9(x-3)/4+2;(-17x^3+93x^2-135x+59)/16;[[-3|8|-2|6]] ~plot~

Da hier in einem Punkt \((3|2)\) sowohl die Funktion als auch ihre Steigung gegeben ist, kann man die Funktion um diesen Punkt 'entwickeln'. Der Ansatz wäre dann$$f(x) = a + b(x-3) + c(x-3)^2 + d(x-3)^3$$Aus der Information \(f(3)=2\) folgt dann direkt \(a=2\) und aus \(f'(3)=-9/4\) folgt unmittelbar \(b=-9/4\). Es bleibt dann nur noch$$f(x)= 2 - \frac94(x-3) + c(x-3)^2 + d(x-3)^3 \\f'(x)= - \frac94 + 2c(x-3) +3d(x-3)^2 $$Einsetzen der anderen Bedingungen gibt dann$$f(1)= 0 \implies 2 + \frac 92 + 4c - 8d = 0 \\ f'(0)=0 \implies - \frac94 - 4c + 12 d = 0 $$Und diese beiden Gleichungen braucht man nur noch addieren$$\implies \frac{17}4 + 4d = 0 \implies d = -\frac{17}{16}$$usw. ... das könnte einfacher sei, als ein LGS mit vier Unbekannten zu lösen.

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort! Allerdings hab ich noch eine Frage, um auf diese Gleichung zu kommen, haben Sie sicherlich das Gaußverfahren genommen oder?

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Das Gaußverfahren ist sicher die erste Wahl, wenn man vier (lineare) Gleichungen mit vier Unbekanten lösen möchte.

Aber ich habe Dir in meiner Antwort noch eine Alternative gezeigt (hinzugefügt), bei der nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten übrig bleiben. Hier genügte dann das Additionsverfahren (s.o.).

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Mir fällt gerade auf, dass man das natürlich auch um den Punkt \((1|0)\) machen kann. Dann werden die Zahlen noch etwas einfacher$$f(x) = c(x-1)^2  +d(x-1)^3 \\ f'(x) = 2c(x-1) + 3d(x-1)^2 $$Und aus dem Punkt \((3|2)\) und seiner Steigung folgt dann$$f(3)= 4c + 8d = 2 \\ f'(3) = 4c + 12d = -\frac 94$$

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Könntest du das bitte auch mit dem Gaußverfahren zeigen?

Ja sicher! Die Gleichungen sind$$\begin{aligned} f(1) &= a \cdot 1^3 + b\cdot 1^2 + c \cdot 1 + d &&=0 \\f'(1) &= 3a \cdot 1^2 + 2b\cdot 1 + c &&=0 \\ f(3) &= a\cdot 3^3 + b\cdot 3^2 + c \cdot 3 + d &&= 2 \\ f'(3) &= 3a\cdot3^2 + 2b\cdot 3 + c &&= -\frac 94\end{aligned}$$das ganze tabellarisch auf die Koeffizienten reduziert:$$\begin{array}{cccc|c}1& 1& 1& 1& 0\\ 3& 2& 1& 0& 0\\ 27& 9& 3& 1& 2\\ 27& 6& 1& 0& -9/4\end{array}$$Im ersten Schritt wird von der zweiten bis vierten Zeile jeweils ein Vielfaches der ersten abgezogen. Der Fator ist jeweils die Zahl der ersten Spalte, so dass nach der Subtraktion dort eine \(0\) steht:$$\begin{array}{cccc|c}1& 1& 1& 1& 0\\ 0& -1& -2& -3& 0\\ 0& -18& -24& -26& 2\\ 0& -21& -26& -27& -9/4\end{array}$$Vor dem nächsten Schritt wird die zweite Zeile durch \(-1\) dividiert, so dass an der zweiten Stelle der Hauptdiagonalen eine \(1\) steht. Anschließend wird wieder von den anderen Zeilen das Vielfache der zweiten abgezogen. Von der ersten das einfache, von der dritten das \(-18\)-fache und von der vierten das \(-21\)-fache. Dann kommt man zu$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& -1& -2& 0\\ 0& 1& 2& 3& 0\\ 0& 0& 12& 28& 2\\ 0& 0& 16& 36& -9/4\end{array}$$Jetzt kommt die dritte Zeile dran. Erst durch \(12\) teilen, dann ein Vielfaches von den anderen abziehen$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& 0& 2/6& 1/6\\ 0& 1& 0& -10/6& -2/6\\ 0& 0& 1& 14/6& 1/6\\ 0& 0& 0& -8/6& -59/12\end{array}$$Und zum Schluß das gleiche mit der vierten Zeile$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& 0& 0& -17/16\\ 0& 1& 0& 0& 93/16\\ 0& 0& 1& 0& -135/16\\ 0& 0& 0& 1& 59/16\end{array}$$Das Ergebnis steht in der rechten Spalte. Von \(a\) bis \(d\) von oben nach unten. Falls was unklar ist, so melde Dich bitte nochmal.

Answer 3

"Der Graph einer ganz rationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der stelle x= 1. Im Punkt (3|2) besitzt er eine Tangente, die parallel zur Gleichung y=-9/4x verläuft"

berührt die x-Achse an der stelle x= 1→   ist doppelte Nullstelle:   Nullstellenform der Parabel:

f(x) = a*(x-1)^2*(x-N)

f(3) = a*(3-1)^2*(3-N)

1.) 4a*(3-N)=2       →   2a*(3-N)=  1    → a=\( \frac{1}{6-2N} \)

f(x) =\( \frac{1}{6-2N} \)*[(x-1)^2*(x-N)]

f´(x) =\( \frac{1}{6-2N} \)*[2*(x-1)*(x-N)+(x-1)^2]

Steigung der Tangente in P(3|egal) ist m=-9/4

f´(3) =\( \frac{1}{6-2N} \)*[2*(3-1)*(3-N)+(3-1)^2]

\( \frac{1}{6-2N} \)*[16-4N]=-\( \frac{9}{4} \)

N=\( \frac{59}{17} \)

a=\( \frac{1}{6-2N} \)

a=-\( \frac{17}{16} \)

f(x)=-\( \frac{17}{16} \)*(x-1)^2*(x-59/17)