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ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Vektoren, die sowohl zum Vektor a=(1 0 4) als auch zum Vektor b = (4 -1 2) orthogonal sind.

Ich habe jetzt folgende Gleichungen aufgestellt:

für a) x1 + 4x3

für b) 4x1 - x2 + 2x3

Jetzt muss ich ja das wie beim Gauss auf diese Stufenform bringen, damit ich für x= t einsetzen kann, oder? Ich hätte jetzt bei a) das ganze mit -4 multipliziert und dann mit b) addiert also -> -x2 - 14x3= 0. Das scheint allerdings nicht richtig zu sein..(nach Lösung)

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> Ich habe jetzt folgende Gleichungen aufgestellt:

Dabei hast du das für Gleichungen so charateristische Gleichheitszeichen vergessen. Und die rechte Seite auch. Ich denke mir mal einfach "= 0" dazu.

> Jetzt muss ich ja das wie beim Gauss auf diese Stufenform bringen

Nein, musst du nicht.

Du musst das Gleichungssystem lösen.

Das darfst du mit dem Gauß-Verfahren machen, aber auch mit jedem anderen geeigneten Verfahren.

Aus a)  folgt x1 = -4x3.

Einsetzen in b) liefert 4·(-4x3) -x2 + 2x3 = 0, was sich umformen lässt zu

        x2 = -14x3.

Wenn du jetzt den Parameter unbedingt t nennen möchtest, dann setze t = x3 und du bekommst

        x1 = -4t
        x2 = -14t
        x3 = t

> Das scheint allerdings nicht richtig zu sein..(nach Lösung)

Genausowenig wie die Lösung eindeutig ist, ist auch die Darstellung der Lösungsmenge nicht eindeutig. Zum Beispiel ist

        x1 = 4/7 t
        x2 = 2t
        x3 = -1/7 t
ebenfalls korrekt.

Avatar von 107 k 🚀


warum folgt aus a)  x1 = -4x3 ? Ich rechne doch x3 x(mal) 4 = 4x3, oder?

Subtrahierst du 4x3 auf beiden Seiten der Gleichung

        x1 + 4x3 = 0

dann bekommst du die Gleichung

        x1 + 4x3 - 4x3 = 0 - 4x3.

Auf der linken Seite dieser Gleichung darfst du aufgrund des Assoziativgesetzes Klammern setzen:

        x1 + (4x3 - 4x3) = 0 - 4x3.

Wegen der Defintion der Subtraktion (i.e. Addition der Gegenzahl) lässt sich das vereinfachen zu

        x1 + 0 = 0 - 4x3.

Neutralität der 0 liefert dann

        x1 = -4x3.

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