Untersuchen Sie, ob die Vektoren a b c orthogonal zum Vektor x

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4) Die Vektoren \( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} \) und \( \mathbf{e}_{3} \) seien die bekannten kanonischen Einheitsvektoren. Untersuchen Sie, ob die Vektoren
\( \begin{aligned} \mathbf{a} & =-\mathbf{e}_{1}-4 \mathbf{e}_{2}-6 \mathbf{e}_{3} \\ \mathbf{b} & =3 \mathbf{e}_{1}+2 \mathbf{e}_{2}-2 \mathbf{e}_{3} \\ \mathbf{c} & =3 \mathbf{e}_{1}+3 \mathbf{e}_{2} \end{aligned} \)
orthogonal zum Vektor
\( \mathbf{x}=6 \mathbf{e}_{1}-6 \mathbf{e}_{2}+3 \mathbf{e}_{3} \)
sind.
Bestimmen Sie anschließend den Winkel zwischen a und c.

Comments

Mit welcher Rechnung / Formel kann man

- Prüfen, ob 2 Vektoren senkrecht sind?

- Den Winkel zwischen 2 Vektoren berechnen?

Answer 1

Moin.

Zuerst einmal berechnest du die Veltoren a b c. Das ist ja nichts besonderes (Die Einheitsvektoren sollten dir klar sein).

Bilde für die Untersuchung auf Orthogonalität das Skalarprodukt der einzelnen Vektoren mit dem Vektor x. Dabei sind die Vektoren zu x orthogonal, dessen Skalarprodukt mit x, 0 ist.

Für den Winkel gibt es die Formel

Winkel(a) =

arccos( Skalarprodukt(a,x) / ||a|| ||x|| )

und für Winkel(b), Winkel(c) analog.

Also du bildest das Skalarprodukt von a,b,c zu x und dividierst mit dem Betrag von den. Am Ende noch den Arcuscosinus davon (Das ist eine Funktion, wessen typischen Werte arccos(0) = π/2, arccos(1) = 0 usw…)

Falls die Vektoren orthogonal sind ist ja das Skalarprodukt 0, d.h. arccos(0) und das ist π/2 (Also 90 Grad).