Zeigen Sie, dass für je zwei Vektoren X Y ein Euklidisches Vektorraum V

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass für je zwei Vektoren \( \mathbf{x} \) und \( \mathbf{y} \) eines Euklidischen Vektorraums \( V \) gilt:
\( \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{2}=\|\mathbf{x}\|^{2}+\|\mathbf{y}\|^{2} \Leftrightarrow \mathbf{x} \text { orthogonal zu } \mathbf{y} \)

Comments

Wie ist denn in einem Euklidischen V die Norm ||.|| definiert?

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Kein Interesse an einer Antwort?

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steht leider sowas nicht

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Hallo

Normalerweise ist die Norm über das Skalarprodukt definiert, also rechne einfach aus ||x-y||= (x-y)*(x-y) Skalarprodukt und benutze x,y orthogonal folgt x*y=0 und umgekehrt.

Gruß lul

Answer 1

Mit \(||x||^2=\langle x, x \rangle\) und \(\langle x,y\rangle=0\), falls \(x \perp y\), ist das eine sehr einfache Rechnung. Nutze die Linearität des Skalarprodukts.

Fange also an: \(||x-y||^2=\langle x-y, x-y \rangle=\ldots \)