Beweis der Stammfunktion mit vollständiger Induktion

Question

ich stehe mal wieder vor einem großen Problem und zwar soll ich dies hier zeigen: (siehe Bild)

Nur habe ich leider überhaupt keinen Schimmer wie dies funktionieren soll.

Die IA ist Klar und die IV auch, aber der Induktionsschritt bringt mich zum verzweifeln.

Comments

Ist vollständige Induktion Pflicht? Ohne gehts einfacher ;)

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$$ \int_{0}^{\pi /4}tan^{n+1}(x)dx=\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)tan^2(x)dx\\=\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)(-1+1+tan^2(x))dx\\=-\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)dx+\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)(1+tan^2(x))dx\\=-\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)dx+[tan^n(x)/n]_0^{\pi/4}=-\int_{0}^{\pi /4}tan^{n-1}(x)dx+1/n $$

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also erstseinmal WOW, ein sehr schöner Trick. An die nahrhafte Null habe ich überhaupt nicht gedacht. Ich hoffe ich sehe nach ein paar Semestern auch solche Lösungsmöglichkeiten, im Moment bin ich eher blind:)

Also Danke dafür, aber wir sollen es mit der vollständigen Induktion machen:(