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Könnte jemand es mit vollständiger Induktion beweisen.

\( h^{(n)}(x)=(-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) \)

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\(h^{(n)}(x)=(-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) \)

Für n=1 also \(h'(x)=(-1)^{1} \cdot 5 \cdot 3^{1-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-1) \)

bzw. \(h'(x)=-5 \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-1) = 5 \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(1-3x)\)

Das passt also.

Angenommen es stimmt für n, dann muss man für n+1 schauen:

\(h^{(n+1)}(x)= \text{Ableitung von }( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) ) \)

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot \text{Ableitung von } (\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) ) \)

Produktregel gibt:

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot ( -3\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x}\cdot 3  ) \)

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot 3 \cdot ( -\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x}  ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot ( -\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x}  ) \)

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot ( \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) -\mathrm{e}^{-3 x}  ) \)

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot \mathrm{e}^{-3 x}\cdot ( (3 x-n) - 1 ) \)

\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot \mathrm{e}^{-3 x}\cdot ( (3 x-(n+ 1) ) \)

Also ergibt sich die Formel mit n+1 an Stelle von n. q.e.d.

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